Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0di 15440
 Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b
mulgdi.m .g
mulgdi.p
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di CMnd

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 15419 . . . . . 6 CMnd
21ad2antrr 707 . . . . 5 CMnd
3 mulgdi.b . . . . . . 7
4 mulgdi.p . . . . . . 7
53, 4mndcl 14687 . . . . . 6
653expb 1154 . . . . 5
72, 6sylan 458 . . . 4 CMnd
8 simpll 731 . . . . 5 CMnd CMnd
93, 4cmncom 15420 . . . . . 6 CMnd
1093expb 1154 . . . . 5 CMnd
118, 10sylan 458 . . . 4 CMnd
123, 4mndass 14688 . . . . 5
132, 12sylan 458 . . . 4 CMnd
14 simpr 448 . . . . 5 CMnd
15 nnuz 10513 . . . . 5
1614, 15syl6eleq 2525 . . . 4 CMnd
17 simplr2 1000 . . . . . 6 CMnd
18 elfznn 11072 . . . . . 6
19 fvconst2g 5937 . . . . . 6
2017, 18, 19syl2an 464 . . . . 5 CMnd
2117adantr 452 . . . . 5 CMnd
2220, 21eqeltrd 2509 . . . 4 CMnd
23 simplr3 1001 . . . . . 6 CMnd
24 fvconst2g 5937 . . . . . 6
2523, 18, 24syl2an 464 . . . . 5 CMnd
2623adantr 452 . . . . 5 CMnd
2725, 26eqeltrd 2509 . . . 4 CMnd
283, 4mndcl 14687 . . . . . . 7
292, 17, 23, 28syl3anc 1184 . . . . . 6 CMnd
30 fvconst2g 5937 . . . . . 6
3129, 18, 30syl2an 464 . . . . 5 CMnd
3220, 25oveq12d 6091 . . . . 5 CMnd
3331, 32eqtr4d 2470 . . . 4 CMnd
347, 11, 13, 16, 22, 27, 33seqcaopr 11352 . . 3 CMnd
35 mulgdi.m . . . . 5 .g
36 eqid 2435 . . . . 5
373, 4, 35, 36mulgnn 14888 . . . 4
3814, 29, 37syl2anc 643 . . 3 CMnd
39 eqid 2435 . . . . . 6
403, 4, 35, 39mulgnn 14888 . . . . 5
4114, 17, 40syl2anc 643 . . . 4 CMnd
42 eqid 2435 . . . . . 6
433, 4, 35, 42mulgnn 14888 . . . . 5
4414, 23, 43syl2anc 643 . . . 4 CMnd
4541, 44oveq12d 6091 . . 3 CMnd
4634, 38, 453eqtr4d 2477 . 2 CMnd
471ad2antrr 707 . . . . . 6 CMnd
48 simplr2 1000 . . . . . 6 CMnd
49 simplr3 1001 . . . . . 6 CMnd
5047, 48, 49, 28syl3anc 1184 . . . . 5 CMnd
51 eqid 2435 . . . . . 6
523, 51, 35mulg0 14887 . . . . 5
5350, 52syl 16 . . . 4 CMnd
54 eqid 2435 . . . . . . . 8
5554, 51mndidcl 14706 . . . . . . 7
5654, 4, 51mndlid 14708 . . . . . . 7
5755, 56mpdan 650 . . . . . 6
581, 57syl 16 . . . . 5 CMnd
5958ad2antrr 707 . . . 4 CMnd
6053, 59eqtr4d 2470 . . 3 CMnd
61 simpr 448 . . . 4 CMnd
6261oveq1d 6088 . . 3 CMnd
6361oveq1d 6088 . . . . 5 CMnd
643, 51, 35mulg0 14887 . . . . . 6
6548, 64syl 16 . . . . 5 CMnd
6663, 65eqtrd 2467 . . . 4 CMnd
6761oveq1d 6088 . . . . 5 CMnd
683, 51, 35mulg0 14887 . . . . . 6
6949, 68syl 16 . . . . 5 CMnd
7067, 69eqtrd 2467 . . . 4 CMnd
7166, 70oveq12d 6091 . . 3 CMnd
7260, 62, 713eqtr4d 2477 . 2 CMnd
73 simpr1 963 . . 3 CMnd
74 elnn0 10215 . . 3
7573, 74sylib 189 . 2 CMnd
7646, 72, 75mpjaodan 762 1 CMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  csn 3806   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982  c1 8983  cn 9992  cn0 10213  cuz 10480  cfz 11035   cseq 11315  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cmnd 14676  .gcmg 14681  CMndccmn 15404 This theorem is referenced by:  mulgdi  15441  mulgmhm  15442 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mulg 14807  df-cmn 15406
 Copyright terms: Public domain W3C validator