MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0p1 14901
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0p1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0p1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
3 mulgnn0p1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0p1.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 mulgnn0p1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
63, 4, 5mulgnnp1 14898 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N  .x.  X
)  .+  X )
)
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
93, 5, 8mndlid 14716 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
103, 8, 4mulg0 14895 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
1211oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  X ) )
133, 4mulg1 14897 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
159, 12, 143eqtr4rd 2479 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  ( ( 0  .x.  X ) 
.+  X ) )
16153adant2 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
1  .x.  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
17 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
18 1e0p1 10410 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1917, 18syl6eqr 2486 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
2019oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( 1  .x. 
X ) )
21 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  X )  =  ( 0  .x.  X
) )
2221oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  .x.  X
)  .+  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
2320, 22eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X )  <->  ( 1 
.x.  X )  =  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
) ) )
2416, 23syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  =  0  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) ) )
2524imp 419 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N  +  1 ) 
.x.  X )  =  ( ( N  .x.  X )  .+  X
) )
26 simp2 958 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
27 elnn0 10223 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2826, 27sylib 189 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
297, 25, 28mpjaodan 762 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Mndcmnd 14684  .gcmg 14689
This theorem is referenced by:  mulgneg2  14917  mhmmulg  14922  mplcoe3  16529  cnfldmulg  16733  cnfldexp  16734  tmdmulg  18122  clmmulg  19118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mulg 14815
  Copyright terms: Public domain W3C validator