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Theorem mulgnnass 14611
Description: Product of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnnass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
21oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( 1  x.  N )  .x.  X ) )
3 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
42, 3eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
54imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) ) )
6 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  N )  =  ( m  x.  N ) )
76oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  x.  N )  .x.  X ) )
8 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
97, 8eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
109imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
11 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  N )  =  ( ( m  +  1 )  x.  N ) )
1211oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X ) )
13 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1412, 13eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
16 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
1716oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
18 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1917, 18eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
21 nncn 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid2d 8869 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
23223ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
2423oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
25 mulgass.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
26 mulgass.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2725, 26mulgnncl 14598 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
28273coml 1158 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( N  .x.  X
)  e.  B )
2925, 26mulg1 14590 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  X )  e.  B  ->  (
1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
3028, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X ) )
3124, 30eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
33 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  m  e.  CC )
35 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  1  e.  CC )
37 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  CC )
3934, 36, 38adddird 8876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
4023adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4239, 41eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4342oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
) )
44 simpr3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  G  e.  Mnd )
45 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
46453ad2antr1 1120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( m  x.  N )  e.  NN )
47 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  X  e.  B )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4925, 26, 48mulgnndir 14605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( m  x.  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5044, 46, 37, 47, 49syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5143, 50eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5225, 26, 48mulgnnp1 14591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5328, 52sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
5451, 53eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( ( m  x.  N ) 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N 
.x.  X ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) ) )
5756a2d 23 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 31, 57nnind 9780 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
59583expd 1168 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( G  e.  Mnd  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
6059com4r 80 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
61603imp2 1166 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  14612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-mnd 14383  df-mulg 14508
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