MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnass Unicode version

Theorem mulgnnass 14845
Description: Product of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnnass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
21oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( 1  x.  N )  .x.  X ) )
3 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
42, 3eqeq12d 2401 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
54imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) ) )
6 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  N )  =  ( m  x.  N ) )
76oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  x.  N )  .x.  X ) )
8 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
97, 8eqeq12d 2401 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
11 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  N )  =  ( ( m  +  1 )  x.  N ) )
1211oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X ) )
13 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1412, 13eqeq12d 2401 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
16 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
1716oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
18 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1917, 18eqeq12d 2401 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
21 nncn 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid2d 9039 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
23223ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
2423oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
25 mulgass.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
26 mulgass.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2725, 26mulgnncl 14832 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
28273coml 1160 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( N  .x.  X
)  e.  B )
2925, 26mulg1 14824 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  X )  e.  B  ->  (
1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X ) )
3124, 30eqtr4d 2422 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
33 nncn 9940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  m  e.  CC )
35 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  1  e.  CC )
37 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  CC )
3934, 36, 38adddird 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
4023adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
4140oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4239, 41eqtrd 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4342oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
) )
44 simpr3 965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  G  e.  Mnd )
45 nnmulcl 9955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
46453ad2antr1 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( m  x.  N )  e.  NN )
47 simpr2 964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  X  e.  B )
48 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4925, 26, 48mulgnndir 14839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( m  x.  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5044, 46, 37, 47, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5143, 50eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5225, 26, 48mulgnnp1 14825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5328, 52sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
5451, 53eqeq12d 2401 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( ( m  x.  N ) 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655ex 424 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N 
.x.  X ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) ) )
5756a2d 24 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 31, 57nnind 9950 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
59583expd 1170 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( G  e.  Mnd  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
6059com4r 82 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
61603imp2 1168 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928   NNcn 9932   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Mndcmnd 14611  .gcmg 14616
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  14846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-mnd 14617  df-mulg 14742
  Copyright terms: Public domain W3C validator