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Theorem mulgnnass 14910
Description: Product of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnnass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
21oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( 1  x.  N )  .x.  X ) )
3 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
42, 3eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
54imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) ) )
6 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  N )  =  ( m  x.  N ) )
76oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  x.  N )  .x.  X ) )
8 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
97, 8eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
11 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  N )  =  ( ( m  +  1 )  x.  N ) )
1211oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X ) )
13 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1412, 13eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
16 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
1716oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
18 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1917, 18eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
21 nncn 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid2d 9098 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
23223ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
2423oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
25 mulgass.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
26 mulgass.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2725, 26mulgnncl 14897 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
28273coml 1160 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( N  .x.  X
)  e.  B )
2925, 26mulg1 14889 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  X )  e.  B  ->  (
1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X ) )
3124, 30eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
33 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  m  e.  CC )
35 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  1  e.  CC )
37 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  CC )
3934, 36, 38adddird 9105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
4023adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
4140oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4239, 41eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4342oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
) )
44 simpr3 965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  G  e.  Mnd )
45 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
46453ad2antr1 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( m  x.  N )  e.  NN )
47 simpr2 964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  X  e.  B )
48 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4925, 26, 48mulgnndir 14904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( m  x.  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5044, 46, 37, 47, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5143, 50eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5225, 26, 48mulgnnp1 14890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5328, 52sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
5451, 53eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( ( m  x.  N ) 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655ex 424 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N 
.x.  X ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) ) )
5756a2d 24 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 31, 57nnind 10010 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
59583expd 1170 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( G  e.  Mnd  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
6059com4r 82 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
61603imp2 1168 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NNcn 9992   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Mndcmnd 14676  .gcmg 14681
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  14911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-mnd 14682  df-mulg 14807
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