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Theorem mulgnndir 14605
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnndir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2mndcl 14388 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1152 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
54adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  B )
61, 2mndass 14389 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
76adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  NN )
9 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
108, 9syl6eleq 2386 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
11 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
13 eluzadd 10272 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1410, 12, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  +  M )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1511nncnd 9778 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
168nncnd 9778 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16addcomd 9030 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  =  ( N  +  M ) )
18 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 addcom 9014 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M
) )
2120fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
2217, 21eleq12d 2364 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <-> 
( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) ) )
2314, 22mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) )
2411, 9syl6eleq 2386 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
25 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
26 elfznn 10835 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  x  e.  NN )
27 fvconst2g 5743 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
2825, 26, 27syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
2925adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  X  e.  B )
3028, 29eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  e.  B )
315, 7, 23, 24, 30seqsplit 11095 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) )  =  ( (  seq  1 ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
32 nnaddcl 9784 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
3311, 8, 32syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
34 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
35 eqid 2296 . . . 4  |-  seq  1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) )  =  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )
361, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
3733, 25, 36syl2anc 642 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) )
381, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X
)  =  (  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
3911, 25, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  X )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 M ) )
40 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
4125, 40, 27syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
4225adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  X  e.  B )
43 nnaddcl 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  +  M
)  e.  NN )
4440, 11, 43syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  +  M )  e.  NN )
45 fvconst2g 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( x  +  M
)  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4642, 44, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  (
x  +  M ) )  =  X )
4741, 46eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( NN  X.  { X } ) `  (
x  +  M ) ) )
4810, 12, 47seqshft2 11088 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N )  =  (  seq  ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( N  +  M ) ) )
491, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  (  seq  1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
508, 25, 49syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 N ) )
5120seqeq1d 11068 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  ( 1  +  M
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) )
5251, 17fveq12d 5547 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) )  =  (  seq  ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( N  +  M ) ) )
5348, 50, 523eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  =  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) )
5439, 53oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( (  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) ) )
5531, 37, 543eqtr4d 2338 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  14606  mulgnnass  14611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-mnd 14383  df-mulg 14508
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