Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Unicode version

Theorem mulgnndir 14605
 Description: Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b
mulgnndir.t .g
mulgnndir.p
Assertion
Ref Expression
mulgnndir

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . . . 6
2 mulgnndir.p . . . . . 6
31, 2mndcl 14388 . . . . 5
433expb 1152 . . . 4
61, 2mndass 14389 . . . 4
8 simpr2 962 . . . . . 6
9 nnuz 10279 . . . . . 6
108, 9syl6eleq 2386 . . . . 5
11 simpr1 961 . . . . . 6
1211nnzd 10132 . . . . 5
13 eluzadd 10272 . . . . 5
1410, 12, 13syl2anc 642 . . . 4
1511nncnd 9778 . . . . . 6
168nncnd 9778 . . . . . 6
1715, 16addcomd 9030 . . . . 5
18 ax-1cn 8811 . . . . . . 7
19 addcom 9014 . . . . . . 7
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . 6
2120fveq2d 5545 . . . . 5
2217, 21eleq12d 2364 . . . 4
2314, 22mpbird 223 . . 3
2411, 9syl6eleq 2386 . . 3
25 simpr3 963 . . . . 5
26 elfznn 10835 . . . . 5
27 fvconst2g 5743 . . . . 5
2825, 26, 27syl2an 463 . . . 4
2925adantr 451 . . . 4
3028, 29eqeltrd 2370 . . 3
315, 7, 23, 24, 30seqsplit 11095 . 2
32 nnaddcl 9784 . . . 4
3311, 8, 32syl2anc 642 . . 3
34 mulgnndir.t . . . 4 .g
35 eqid 2296 . . . 4
361, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . 3
3733, 25, 36syl2anc 642 . 2
381, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . . 4
3911, 25, 38syl2anc 642 . . 3
40 elfznn 10835 . . . . . . 7
4125, 40, 27syl2an 463 . . . . . 6
4225adantr 451 . . . . . . 7
43 nnaddcl 9784 . . . . . . . 8
4440, 11, 43syl2anr 464 . . . . . . 7
45 fvconst2g 5743 . . . . . . 7
4642, 44, 45syl2anc 642 . . . . . 6
4741, 46eqtr4d 2331 . . . . 5
4810, 12, 47seqshft2 11088 . . . 4
491, 2, 34, 35mulgnn 14589 . . . . 5
508, 25, 49syl2anc 642 . . . 4
5120seqeq1d 11068 . . . . 5
5251, 17fveq12d 5547 . . . 4
5348, 50, 523eqtr4d 2338 . . 3
5439, 53oveq12d 5892 . 2
5531, 37, 543eqtr4d 2338 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  csn 3653   cxp 4703  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  c1 8754   caddc 8756  cn 9762  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798   cseq 11062  cbs 13164   cplusg 13224  cmnd 14377  .gcmg 14382 This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  14606  mulgnnass  14611 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-mnd 14383  df-mulg 14508
 Copyright terms: Public domain W3C validator