Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Unicode version

Theorem mulgnndir 14904
 Description: Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b
mulgnndir.t .g
mulgnndir.p
Assertion
Ref Expression
mulgnndir

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . . . 6
2 mulgnndir.p . . . . . 6
31, 2mndcl 14687 . . . . 5
433expb 1154 . . . 4
54adantlr 696 . . 3
61, 2mndass 14688 . . . 4
76adantlr 696 . . 3
8 simpr2 964 . . . . . 6
9 nnuz 10513 . . . . . 6
108, 9syl6eleq 2525 . . . . 5
11 simpr1 963 . . . . . 6
1211nnzd 10366 . . . . 5
13 eluzadd 10506 . . . . 5
1410, 12, 13syl2anc 643 . . . 4
1511nncnd 10008 . . . . 5
168nncnd 10008 . . . . 5
1715, 16addcomd 9260 . . . 4
18 ax-1cn 9040 . . . . . 6
19 addcom 9244 . . . . . 6
2015, 18, 19sylancl 644 . . . . 5
2120fveq2d 5724 . . . 4
2214, 17, 213eltr4d 2516 . . 3
2311, 9syl6eleq 2525 . . 3
24 simpr3 965 . . . . 5
25 elfznn 11072 . . . . 5
26 fvconst2g 5937 . . . . 5
2724, 25, 26syl2an 464 . . . 4
2824adantr 452 . . . 4
2927, 28eqeltrd 2509 . . 3
305, 7, 22, 23, 29seqsplit 11348 . 2
31 nnaddcl 10014 . . . 4
3211, 8, 31syl2anc 643 . . 3
33 mulgnndir.t . . . 4 .g
34 eqid 2435 . . . 4
351, 2, 33, 34mulgnn 14888 . . 3
3632, 24, 35syl2anc 643 . 2
371, 2, 33, 34mulgnn 14888 . . . 4
3811, 24, 37syl2anc 643 . . 3
39 elfznn 11072 . . . . . . 7
4024, 39, 26syl2an 464 . . . . . 6
4124adantr 452 . . . . . . 7
42 nnaddcl 10014 . . . . . . . 8
4339, 11, 42syl2anr 465 . . . . . . 7
44 fvconst2g 5937 . . . . . . 7
4541, 43, 44syl2anc 643 . . . . . 6
4640, 45eqtr4d 2470 . . . . 5
4710, 12, 46seqshft2 11341 . . . 4
481, 2, 33, 34mulgnn 14888 . . . . 5
498, 24, 48syl2anc 643 . . . 4
5020seqeq1d 11321 . . . . 5
5150, 17fveq12d 5726 . . . 4
5247, 49, 513eqtr4d 2477 . . 3
5338, 52oveq12d 6091 . 2
5430, 36, 533eqtr4d 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  csn 3806   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  c1 8983   caddc 8985  cn 9992  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035   cseq 11315  cbs 13461   cplusg 13521  cmnd 14676  .gcmg 14681 This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  14905  mulgnnass  14910 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-mnd 14682  df-mulg 14807
 Copyright terms: Public domain W3C validator