Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Unicode version

Theorem mulgpropd 14850
 Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. is expected to either be (when strong equality is available) or (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m .g
mulgpropd.n .g
mulgpropd.b1
mulgpropd.b2
mulgpropd.i
mulgpropd.k
mulgpropd.e
Assertion
Ref Expression
mulgpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10
4 ssel 3285 . . . . . . . . . . 11
5 ssel 3285 . . . . . . . . . . 11
64, 5anim12d 547 . . . . . . . . . 10
73, 6syl 16 . . . . . . . . 9
87imp 419 . . . . . . . 8
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8
108, 9syldan 457 . . . . . . 7
111, 2, 10grpidpropd 14649 . . . . . 6
12113ad2ant1 978 . . . . 5
13 1z 10243 . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
15 vex 2902 . . . . . . . . . . . 12
1615fvconst2 5886 . . . . . . . . . . 11
17 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . 12
1817eqcomi 2391 . . . . . . . . . . 11
1916, 18eleq2s 2479 . . . . . . . . . 10
2019adantl 453 . . . . . . . . 9
2133ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11
22 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
2321, 22sseldd 3292 . . . . . . . . . 10
2423adantr 452 . . . . . . . . 9
2520, 24eqeltrd 2461 . . . . . . . 8
26 mulgpropd.k . . . . . . . . 9
27263ad2antl1 1119 . . . . . . . 8
2893ad2antl1 1119 . . . . . . . 8
2914, 25, 27, 28seqfeq3 11300 . . . . . . 7
3029fveq1d 5670 . . . . . 6
311, 2, 10grpinvpropd 14793 . . . . . . . 8
32313ad2ant1 978 . . . . . . 7
3329fveq1d 5670 . . . . . . 7
3432, 33fveq12d 5674 . . . . . 6
3530, 34ifeq12d 3698 . . . . 5
3612, 35ifeq12d 3698 . . . 4
3736mpt2eq3dva 6077 . . 3
38 eqidd 2388 . . . 4
39 eqidd 2388 . . . 4
4038, 1, 39mpt2eq123dv 6075 . . 3
41 eqidd 2388 . . . 4
4238, 2, 41mpt2eq123dv 6075 . . 3
4337, 40, 423eqtr3d 2427 . 2
44 eqid 2387 . . 3
45 eqid 2387 . . 3
46 eqid 2387 . . 3
47 eqid 2387 . . 3
48 mulgpropd.m . . 3 .g
4944, 45, 46, 47, 48mulgfval 14818 . 2
50 eqid 2387 . . 3
51 eqid 2387 . . 3
52 eqid 2387 . . 3
53 eqid 2387 . . 3
54 mulgpropd.n . . 3 .g
5550, 51, 52, 53, 54mulgfval 14818 . 2
5643, 49, 553eqtr4g 2444 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717   wss 3263  cif 3682  csn 3757   class class class wbr 4153   cxp 4816  cfv 5394  (class class class)co 6020   cmpt2 6022  cc0 8923  c1 8924   clt 9053  cneg 9224  cn 9932  cz 10214  cuz 10420   cseq 11250  cbs 13396   cplusg 13456  c0g 13650  cminusg 14613  .gcmg 14616 This theorem is referenced by:  mulgass3  15669  coe1tm  16592  ply1coe  16611  evl1expd  19825 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-0g 13654  df-minusg 14740  df-mulg 14742
 Copyright terms: Public domain W3C validator