Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Structured version   Unicode version

Theorem mulgpropd 14915
 Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. is expected to either be (when strong equality is available) or (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m .g
mulgpropd.n .g
mulgpropd.b1
mulgpropd.b2
mulgpropd.i
mulgpropd.k
mulgpropd.e
Assertion
Ref Expression
mulgpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10
4 ssel 3334 . . . . . . . . . . 11
5 ssel 3334 . . . . . . . . . . 11
64, 5anim12d 547 . . . . . . . . . 10
73, 6syl 16 . . . . . . . . 9
87imp 419 . . . . . . . 8
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8
108, 9syldan 457 . . . . . . 7
111, 2, 10grpidpropd 14714 . . . . . 6
12113ad2ant1 978 . . . . 5
13 1z 10303 . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
15 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12
1615fvconst2 5939 . . . . . . . . . . 11
17 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . 12
1817eqcomi 2439 . . . . . . . . . . 11
1916, 18eleq2s 2527 . . . . . . . . . 10
2019adantl 453 . . . . . . . . 9
2133ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11
22 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
2321, 22sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
2423adantr 452 . . . . . . . . 9
2520, 24eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
26 mulgpropd.k . . . . . . . . 9
27263ad2antl1 1119 . . . . . . . 8
2893ad2antl1 1119 . . . . . . . 8
2914, 25, 27, 28seqfeq3 11365 . . . . . . 7
3029fveq1d 5722 . . . . . 6
311, 2, 10grpinvpropd 14858 . . . . . . . 8
32313ad2ant1 978 . . . . . . 7
3329fveq1d 5722 . . . . . . 7
3432, 33fveq12d 5726 . . . . . 6
3530, 34ifeq12d 3747 . . . . 5
3612, 35ifeq12d 3747 . . . 4
3736mpt2eq3dva 6130 . . 3
38 eqidd 2436 . . . 4
39 eqidd 2436 . . . 4
4038, 1, 39mpt2eq123dv 6128 . . 3
41 eqidd 2436 . . . 4
4238, 2, 41mpt2eq123dv 6128 . . 3
4337, 40, 423eqtr3d 2475 . 2
44 eqid 2435 . . 3
45 eqid 2435 . . 3
46 eqid 2435 . . 3
47 eqid 2435 . . 3
48 mulgpropd.m . . 3 .g
4944, 45, 46, 47, 48mulgfval 14883 . 2
50 eqid 2435 . . 3
51 eqid 2435 . . 3
52 eqid 2435 . . 3
53 eqid 2435 . . 3
54 mulgpropd.n . . 3 .g
5550, 51, 52, 53, 54mulgfval 14883 . 2
5643, 49, 553eqtr4g 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  cif 3731  csn 3806   class class class wbr 4204   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc0 8982  c1 8983   clt 9112  cneg 9284  cn 9992  cz 10274  cuz 10480   cseq 11315  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cminusg 14678  .gcmg 14681 This theorem is referenced by:  mulgass3  15734  coe1tm  16657  ply1coe  16676  evl1expd  19950 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-0g 13719  df-minusg 14805  df-mulg 14807
 Copyright terms: Public domain W3C validator