MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Unicode version

Theorem mulgsubdi 15129
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgsubdi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgsubdi.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Abel )
2 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
3 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
4 ablgrp 15094 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
6 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
7 mulgsubdi.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
97, 8grpinvcl 14527 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
105, 6, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
11 mulgsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
12 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
137, 11, 12mulgdi 15126 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B ) )  ->  ( M  .x.  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )  =  ( ( M  .x.  X
) ( +g  `  G
) ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) ) )
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) ) )
157, 11, 8mulgneg2 14594 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
167, 11, 8mulgneg 14585 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
1715, 16eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
185, 2, 6, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) )
1918oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
21 mulgsubdi.d . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
227, 12, 8, 21grpsubval 14525 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
233, 6, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2423oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) ) )
257, 11mulgcl 14584 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
265, 2, 3, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  e.  B )
277, 11mulgcl 14584 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y )  e.  B )
285, 2, 6, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  Y
)  e.  B )
297, 12, 8, 21grpsubval 14525 . . 3  |-  ( ( ( M  .x.  X
)  e.  B  /\  ( M  .x.  Y )  e.  B )  -> 
( ( M  .x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3026, 28, 29syl2anc 642 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3120, 24, 303eqtr4d 2325 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   -ucneg 9038   ZZcz 10024   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365  .gcmg 14366   Abelcabel 15090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator