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Theorem mulgsubdi 15145
Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgsubdi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgsubdi.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Abel )
2 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
3 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
4 ablgrp 15110 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
6 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
7 mulgsubdi.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
97, 8grpinvcl 14543 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
105, 6, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
11 mulgsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
137, 11, 12mulgdi 15142 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B ) )  ->  ( M  .x.  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )  =  ( ( M  .x.  X
) ( +g  `  G
) ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) ) )
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) ) )
157, 11, 8mulgneg2 14610 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
167, 11, 8mulgneg 14601 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
1715, 16eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
185, 2, 6, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) )
1918oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
21 mulgsubdi.d . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
227, 12, 8, 21grpsubval 14541 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
233, 6, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2423oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( M  .x.  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) ) )
257, 11mulgcl 14600 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
265, 2, 3, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  e.  B )
277, 11mulgcl 14600 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y )  e.  B )
285, 2, 6, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  Y
)  e.  B )
297, 12, 8, 21grpsubval 14541 . . 3  |-  ( ( ( M  .x.  X
)  e.  B  /\  ( M  .x.  Y )  e.  B )  -> 
( ( M  .x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3026, 28, 29syl2anc 642 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3120, 24, 303eqtr4d 2338 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .-  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   -ucneg 9054   ZZcz 10040   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381  .gcmg 14382   Abelcabel 15106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-cmn 15107  df-abl 15108
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