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Theorem mulle0b 25184
Description: A condition for multiplication to be non-positive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulle0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )

Proof of Theorem mulle0b
StepHypRef Expression
1 remulcl 9067 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
21le0neg1d 9590 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
3 le0neg2 9529 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
43anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  B )  <-> 
( A  <_  0  /\  -u B  <_  0
) ) )
5 le0neg1 9528 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
65anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  0 )  <-> 
( 0  <_  A  /\  0  <_  -u B
) ) )
74, 6orbi12d 691 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( ( A  <_ 
0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0 ) )  <->  ( ( A  <_  0  /\  -u B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
87adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  (
0  <_  A  /\  B  <_  0 ) )  <-> 
( ( A  <_ 
0  /\  -u B  <_ 
0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
9 renegcl 9356 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
10 mulge0b 25183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  x.  -u B
)  <->  ( ( A  <_  0  /\  -u B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
119, 10sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <-> 
( ( A  <_ 
0  /\  -u B  <_ 
0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
12 recn 9072 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
13 recn 9072 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
14 mulneg2 9463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
1514breq2d 4216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
1612, 13, 15syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
178, 11, 163bitr2rd 274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  -u ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )
182, 17bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    <_ cle 9113   -ucneg 9284
This theorem is referenced by:  mulsuble0b  25185  colinearalglem4  25840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670
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