MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Unicode version

Theorem mulneg1 9216
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . . 4  |-  0  e.  CC
2 subdir 9214 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  x.  B )  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B
) ) )
31, 2mp3an1 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B ) ) )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54mul02d 9010 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
65oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B )
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
73, 6eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
8 df-neg 9040 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
98oveq1i 5868 . 2  |-  ( -u A  x.  B )  =  ( ( 0  -  A )  x.  B )
10 df-neg 9040 . 2  |-  -u ( A  x.  B )  =  ( 0  -  ( A  x.  B
) )
117, 9, 103eqtr4g 2340 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  mulneg2  9217  mulneg12  9218  mulm1  9221  mulneg1i  9225  mulneg1d  9232  divneg  9455  zmulcl  10066  modcyc2  11000  cjreim  11645  tanval3  12414  dvdsnegb  12546  odd2np1  12587  modgcd  12715  pcexp  12912  cnfldmulg  16406  sinperlem  19848  sineq0  19889  efeq1  19891  asinlem3a  20166  atancj  20206  atantayl  20233  atantayl2  20234  basellem3  20320  basellem9  20326  ipval2  21280  ipasslem2  21410  zetacvg  23689  mulltgt0  27693  stoweidlem10  27759  stoweidlem13  27762  stoweidlem42  27791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator