MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Structured version   Unicode version

Theorem mulneg1 9472
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 9086 . . . 4  |-  0  e.  CC
2 subdir 9470 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  x.  B )  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B
) ) )
31, 2mp3an1 1267 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B ) ) )
4 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54mul02d 9266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
65oveq1d 6098 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B )
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
73, 6eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
8 df-neg 9296 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
98oveq1i 6093 . 2  |-  ( -u A  x.  B )  =  ( ( 0  -  A )  x.  B )
10 df-neg 9296 . 2  |-  -u ( A  x.  B )  =  ( 0  -  ( A  x.  B
) )
117, 9, 103eqtr4g 2495 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294
This theorem is referenced by:  mulneg2  9473  mulneg12  9474  mulm1  9477  mulneg1i  9481  mulneg1d  9488  divneg  9711  zmulcl  10326  modcyc2  11279  cjreim  11967  tanval3  12737  dvdsnegb  12869  odd2np1  12910  modgcd  13038  pcexp  13235  cnfldmulg  16735  sinperlem  20390  sineq0  20431  efeq1  20433  asinlem3a  20712  atancj  20752  atantayl  20779  atantayl2  20780  basellem3  20867  basellem9  20873  ipval2  22205  ipasslem2  22335  zetacvg  24801  itg2addnclem3  26260  ftc1anclem6  26287  stoweidlem10  27737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296
  Copyright terms: Public domain W3C validator