MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Unicode version

Theorem mulneg1 9261
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 8876 . . . 4  |-  0  e.  CC
2 subdir 9259 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  x.  B )  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B
) ) )
31, 2mp3an1 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B ) ) )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54mul02d 9055 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
65oveq1d 5915 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B )
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
73, 6eqtrd 2348 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
8 df-neg 9085 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
98oveq1i 5910 . 2  |-  ( -u A  x.  B )  =  ( ( 0  -  A )  x.  B )
10 df-neg 9085 . 2  |-  -u ( A  x.  B )  =  ( 0  -  ( A  x.  B
) )
117, 9, 103eqtr4g 2373 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782    x. cmul 8787    - cmin 9082   -ucneg 9083
This theorem is referenced by:  mulneg2  9262  mulneg12  9263  mulm1  9266  mulneg1i  9270  mulneg1d  9277  divneg  9500  zmulcl  10113  modcyc2  11047  cjreim  11692  tanval3  12461  dvdsnegb  12593  odd2np1  12634  modgcd  12762  pcexp  12959  cnfldmulg  16462  sinperlem  19901  sineq0  19942  efeq1  19944  asinlem3a  20219  atancj  20259  atantayl  20286  atantayl2  20287  basellem3  20373  basellem9  20379  ipval2  21335  ipasslem2  21465  zetacvg  23973  itg2addnc  25319  mulltgt0  26841  stoweidlem10  26907  stoweidlem13  26910  stoweidlem42  26939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-sub 9084  df-neg 9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator