MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1i Unicode version

Theorem mulneg1i 9372
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1  |-  A  e.  CC
mulneg.2  |-  B  e.  CC
Assertion
Ref Expression
mulneg1i  |-  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B )

Proof of Theorem mulneg1i
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 mulneg.2 . 2  |-  B  e.  CC
3 mulneg1 9363 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
41, 2, 3mp2an 653 1  |-  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    e. wcel 1715  (class class class)co 5981   CCcc 8882    x. cmul 8889   -ucneg 9185
This theorem is referenced by:  recgt0ii  9809  crreczi  11391  sinhval  12642  coshval  12643  dvdslelem  12781  divalglem2  12802  divalglem6  12805  gcdaddmlem  12915  ang180lem2  20330  ang180lem3  20331  1cubrlem  20359  asinsinlem  20409  asinsin  20410  asin1  20412  lgsdir2lem5  20789  nvpi  21545  ipasslem10  21730  normlem3  22004  dvreasin  25698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-sub 9186  df-neg 9187
  Copyright terms: Public domain W3C validator