MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2 Unicode version

Theorem mulneg2 9217
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
mulneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)

Proof of Theorem mulneg2
StepHypRef Expression
1 mulneg1 9216 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
21ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
3 negcl 9052 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
4 mulcom 8823 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B )  =  (
-u B  x.  A
) )
53, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  ( -u B  x.  A )
)
6 mulcom 8823 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
76negeqd 9046 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  x.  B )  =  -u ( B  x.  A
) )
82, 5, 73eqtr4d 2325 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    x. cmul 8742   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  mulneg12  9218  submul2  9220  mulsub  9222  mulneg2i  9226  mulneg2d  9233  zmulcl  10066  binom2sub  11220  cjreb  11608  recj  11609  reneg  11610  imcj  11617  imneg  11618  ipcnval  11628  cjneg  11632  cnpart  11725  efexp  12381  efmival  12433  tanhbnd  12441  sinsub  12448  cossub  12449  odd2np1  12587  itgneg  19158  dvsincos  19328  sinperlem  19848  efimpi  19859  dcubic2  20140  dcubic  20142  dquart  20149  quartlem1  20153  asinlem2  20165  asinneg  20182  sinasin  20185  cosasin  20200  atanneg  20203  atanlogadd  20210  atanlogsub  20212  cosatan  20217  atantan  20219  atans2  20227  rpvmasum2  20661  ipasslem2  21410  mulle0b  24087  pell1234qrdich  26946  rmxm1  27019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator