MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2 Unicode version

Theorem mulneg2 9427
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
mulneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)

Proof of Theorem mulneg2
StepHypRef Expression
1 mulneg1 9426 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
21ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
3 negcl 9262 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
4 mulcom 9032 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B )  =  (
-u B  x.  A
) )
53, 4sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  ( -u B  x.  A )
)
6 mulcom 9032 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
76negeqd 9256 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  x.  B )  =  -u ( B  x.  A
) )
82, 5, 73eqtr4d 2446 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    x. cmul 8951   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  mulneg12  9428  submul2  9430  mulsub  9432  mulneg2i  9436  mulneg2d  9443  zmulcl  10280  binom2sub  11453  cjreb  11883  recj  11884  reneg  11885  imcj  11892  imneg  11893  ipcnval  11903  cjneg  11907  cnpart  12000  efexp  12657  efmival  12709  tanhbnd  12717  sinsub  12724  cossub  12725  odd2np1  12863  itgneg  19648  dvsincos  19818  sinperlem  20341  efimpi  20352  dcubic2  20637  dcubic  20639  dquart  20646  quartlem1  20650  asinlem2  20662  asinneg  20679  sinasin  20682  cosasin  20697  atanneg  20700  atanlogadd  20707  atanlogsub  20709  cosatan  20714  atantan  20716  atans2  20724  rpvmasum2  21159  ipasslem2  22286  mulle0b  25145  pell1234qrdich  26814  rmxm1  26887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator