MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2d Structured version   Unicode version

Theorem mulneg2d 9518
Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mulneg2d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)

Proof of Theorem mulneg2d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 mulneg2 9502 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727  (class class class)co 6110   CCcc 9019    x. cmul 9026   -ucneg 9323
This theorem is referenced by:  prodge0  9888  expmulz  11457  discr  11547  sincossq  12808  oexpneg  12942  mulgass  14951  zlpirlem3  16801  pjthlem1  19369  dvfsum2  19949  vieta1  20260  advlogexp  20577  logccv  20585  cxpmul2z  20613  abscxpbnd  20668  isosctrlem3  20695  dcubic1lem  20714  mcubic  20718  amgmlem  20859  ftalem5  20890  pntrlog2bndlem2  21303  gxmodid  21898  pjhthlem1  22924  brbtwn2  25875  colinearalglem4  25879  dvreasin  26328  areacirclem1  26330  pellexlem6  26935  pell1234qrreccl  26955  pell14qrdich  26970  rmxyneg  27021  rmxm1  27035  itgsinexplem1  27762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-ltxr 9156  df-sub 9324  df-neg 9325
  Copyright terms: Public domain W3C validator