Theorem mulneg2t 5452

Description: The product with a negative is the negative of the product.

Assertion

Ref	Expression
mulneg2t	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. -uB) = -u(A x. B))

Proof of Theorem mulneg2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1t 5451	. . 3 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> (-uB x. A) = -u(B x. A))
2	1	ancoms 436	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (-uB x. A) = -u(B x. A))
3		axmulcom 5276	. . 3 |- ((A e. CC /\ -uB e. CC) -> (A x. -uB) = (-uB x. A))
4		negclt 5368	. . 3 |- (B e. CC -> -uB e. CC)
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. -uB) = (-uB x. A))
6		axmulcom 5276	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))
7	6	negeqd 5361	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> -u(A x. B) = -u(B x. A))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. -uB) = -u(A x. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  -ucneg 5293

This theorem is referenced by:  mulneg12t 5453  submul2t 5460  mulsubt 5477  zmulclt 6180  cj11t 6830  efmivalt 7448  sinsubt 7455  cossubt 7456  sincossqt 7461  ipasslem2 8491  efimpi 8698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain