MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnqf Structured version   Unicode version

Theorem mulnqf 8818
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulnqf  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.

Proof of Theorem mulnqf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqerf 8799 . . . 4  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 mulpqf 8815 . . . 4  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3 fco 5592 . . . 4  |-  ( ( /Q : ( N. 
X.  N. ) --> Q.  /\  .pQ 
: ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q. )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.
5 elpqn 8794 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
65ssriv 3344 . . . 4  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
7 xpss12 4973 . . . 4  |-  ( ( Q.  C_  ( N.  X.  N. )  /\  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( Q.  X.  Q. )  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
86, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
9 fssres 5602 . . 3  |-  ( ( ( /Q  o.  .pQ  ) : ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.  /\  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. )
--> Q. )
104, 8, 9mp2an 654 . 2  |-  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.
11 df-mq 8784 . . 3  |-  .Q  =  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) )
1211feq1i 5577 . 2  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  <->  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q. )
1310, 12mpbir 201 1  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    C_ wss 3312    X. cxp 4868    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   N.cnpi 8711    .pQ cmpq 8716   Q.cnq 8719   /Qcerq 8721    .Q cmq 8723
This theorem is referenced by:  mulcomnq  8822  mulerpq  8826  mulassnq  8828  distrnq  8830  recmulnq  8833  recclnq  8835  dmrecnq  8837  ltmnq  8841  prlem936  8916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ni 8741  df-mi 8743  df-lti 8744  df-mpq 8778  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-mq 8784  df-1nq 8785
  Copyright terms: Public domain W3C validator