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Theorem mulogsumlem 20680
Description: Lemma for mulogsum 20681. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 10819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 mucl 20379 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
65zred 10117 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
76, 3nndivred 9794 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
87recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
91, 8fsumcl 12206 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
109adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
11 emre 20299 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
1211recni 8849 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  gamma  e.  CC )
14 mudivsum 20679 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
1514a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
16 rpssre 10364 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
17 o1const 12093 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 ) )
1816, 12, 17mp2an 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 )
1918a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 ) )
2010, 13, 15, 19o1mul2 12098 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O ( 1 ) )
21 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
22 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2423nnrecred 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
2521, 24fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
262nnrpd 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
27 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2826, 27sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2928relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
317, 30remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
321, 31fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 8861 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
3433adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
35 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
369, 12, 35sylancl 643 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
3736adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
38 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3938recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
4023, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4121, 40fsumcl 12206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
4229recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
4341, 42subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
448, 43mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
45 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )  e.  CC )
468, 12, 45sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
471, 44, 46fsumsub 12250 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
4812a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  gamma  e.  CC )
4941, 42, 48subsub4d 9188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )
5049oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )
518, 43, 48subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5250, 51eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) ) )
5352sumeq2dv 12176 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5412a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
551, 54, 8fsummulc1 12247 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) )
5655oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5747, 53, 563eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5857mpteq2ia 4102 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5916a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
6042, 48addcld 8854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) )  + 
gamma )  e.  CC )
6141, 60subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
)  e.  CC )
628, 61mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  CC )
631, 62fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
6463adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
65 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
6665a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
6763abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
6862abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
691, 68fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
7065a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
711, 62fsumabs 12259 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
72 rprege0 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
73 flge0nn0 10948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
7574nn0red 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
76 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  x )  /  x
)  e.  RR )
7775, 76mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
78 rpreccl 10377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
8079rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
818abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
823nnrecred 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
8361abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  RR )
84 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR+ )
85 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  /  x )  e.  RR+ )
8626, 84, 85syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR+ )
8786rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR )
888absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
8961absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )
906recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
913nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
923nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92absdivd 11937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  ( abs `  n ) ) )
943nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
95 rprege0 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
97 absid 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
9998oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10093, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10190abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
10265a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
103 mule1 20386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1043, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
105101, 102, 94, 104lediv1dd 10444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  /  n )  <_  (
1  /  n ) )
106100, 105eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  (
1  /  n ) )
107 harmonicbnd4 20304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
10828, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
109 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
111 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
11294, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
113 recdiv 9466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  n ) )  =  ( n  /  x ) )
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  /  n ) )  =  ( n  /  x
) )
115108, 114breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( n  /  x ) )
11681, 82, 83, 87, 88, 89, 106, 115lemul12ad 9699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( (
1  /  n )  x.  ( n  /  x ) ) )
1178, 61absmuld 11936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
118 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
120 dmdcan 9470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  /  x
)  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x ) )
121112, 110, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x
) )
12286rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  CC )
12382recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
124122, 123mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
125121, 124eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
126116, 117, 1253brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( 1  /  x
) )
1271, 68, 80, 126fsumle 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
128 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
12974, 128syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
130129oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
13178rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
132 fsumconst 12252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
1331, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
13474nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
135 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
136 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
137134, 135, 136divrecd 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x )  x.  (
1  /  x ) ) )
138130, 133, 1373eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
139127, 138breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
140 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
141 flle 10931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
143135mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
144142, 143breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_ 
( x  x.  1 ) )
145 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
146140, 145syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
147 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
148 ledivmul 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
149146, 70, 147, 148syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
150144, 149mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1 )
15169, 77, 70, 139, 150letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
15267, 69, 70, 71, 151letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
153152ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  1 )
15459, 64, 66, 66, 153elo1d 12010 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  O ( 1 ) )
15558, 154syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )  e.  O ( 1 ) )
15634, 37, 155o1dif 12103 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O ( 1 ) ) )
15720, 156mpbird 223 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
158157trud 1314 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   #chash 11337   abscabs 11719   O ( 1 )co1 11960   sum_csu 12158   logclog 19912   gammacem 20286   mmucmu 20332
This theorem is referenced by:  mulogsum  20681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-em 20287  df-mu 20338
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