MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpiord Unicode version

Theorem mulpiord 8696
Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpiord  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )

Proof of Theorem mulpiord
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4851 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
2 fvres 5686 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )  =  (  .o  `  <. A ,  B >. )
)
3 df-ov 6024 . . . 4  |-  ( A  .N  B )  =  (  .N  `  <. A ,  B >. )
4 df-mi 8685 . . . . 5  |-  .N  =  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )
54fveq1i 5670 . . . 4  |-  (  .N 
`  <. A ,  B >. )  =  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )
63, 5eqtri 2408 . . 3  |-  ( A  .N  B )  =  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `
 <. A ,  B >. )
7 df-ov 6024 . . 3  |-  ( A  .o  B )  =  (  .o  `  <. A ,  B >. )
82, 6, 73eqtr4g 2445 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .o  B ) )
91, 8syl 16 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3761    X. cxp 4817    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    .o comu 6659   N.cnpi 8653    .N cmi 8655
This theorem is referenced by:  mulidpi  8697  mulclpi  8704  mulcompi  8707  mulasspi  8708  distrpi  8709  mulcanpi  8711  ltmpi  8715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-xp 4825  df-res 4831  df-iota 5359  df-fv 5403  df-ov 6024  df-mi 8685
  Copyright terms: Public domain W3C validator