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Theorem mulre 11928
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 11927 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
213ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
3 recl 11917 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9116 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
543ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 simp1 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
7 recn 9082 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
87anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
983adant1 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
10 mulcan 9661 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
127adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
134adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
14 ax-icn 9051 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
15 imcl 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1615recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1814, 16, 17sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1918adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2012, 13, 19adddid 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
21 replim 11923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2322oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( B  x.  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
24 mul12 9234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( B  x.  ( Im `  A
) ) )  =  ( B  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
267, 16, 25syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2726oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
2928fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  ( B  x.  A )
)  =  ( Re
`  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
313, 30sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
32 remulcl 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
3315, 32sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
34 crre 11921 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  /\  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( B  x.  A ) ) )
3736eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
38 mulcl 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
397, 38sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
40 rereb 11927 . . . . . 6  |-  ( ( B  x.  A )  e.  CC  ->  (
( B  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  A )  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A ) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4237, 41bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
4342ancoms 441 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
44433adant3 978 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
452, 11, 443bitr2d 274 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997   Recre 11904   Imcim 11905
This theorem is referenced by:  sineq0  20431  sineq0ALT  29111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908
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