MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulresr Unicode version

Theorem mulresr 8851
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 8792 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 mulcnsr 8848 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
32an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
41, 1, 3mpanr12 666 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. (
( A  .R  B
)  +R  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>. )
5 00sr 8811 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
76oveq2i 5956 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
8 m1r 8794 . . . . . . 7  |-  -1R  e.  R.
9 00sr 8811 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
117, 10eqtri 2378 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  0R
1211oveq2i 5956 . . . 4  |-  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( ( A  .R  B
)  +R  0R )
13 mulclsr 8796 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
14 0idsr 8809 . . . . 5  |-  ( ( A  .R  B )  e.  R.  ->  (
( A  .R  B
)  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1612, 15syl5eq 2402 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( A  .R  B
) )
17 mulcomsr 8801 . . . . . 6  |-  ( 0R 
.R  B )  =  ( B  .R  0R )
18 00sr 8811 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( B  .R  0R )  =  0R )
1917, 18syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  0R )
20 00sr 8811 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
2119, 20oveqan12rd 5965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  ( 0R  +R  0R ) )
22 0idsr 8809 . . . . 5  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
231, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2421, 23syl6eq 2406 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  0R )
2516, 24opeq12d 3885 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>.  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
264, 25eqtrd 2390 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   <.cop 3719  (class class class)co 5945   R.cnr 8579   0Rc0r 8580   -1Rcm1r 8582    +R cplr 8583    .R cmr 8584    x. cmul 8832
This theorem is referenced by:  axmulrcl  8866  ax1rid  8873  axrrecex  8875  axpre-mulgt0  8880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-ec 6749  df-qs 6753  df-ni 8586  df-pli 8587  df-mi 8588  df-lti 8589  df-plpq 8622  df-mpq 8623  df-ltpq 8624  df-enq 8625  df-nq 8626  df-erq 8627  df-plq 8628  df-mq 8629  df-1nq 8630  df-rq 8631  df-ltnq 8632  df-np 8695  df-1p 8696  df-plp 8697  df-mp 8698  df-ltp 8699  df-plpr 8769  df-mpr 8770  df-enr 8771  df-nr 8772  df-plr 8773  df-mr 8774  df-0r 8776  df-m1r 8778  df-c 8833  df-mul 8839
  Copyright terms: Public domain W3C validator