Theorem mulresr 8978

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8919	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 8975	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
3	2	an4s 800	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 667	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
5		00sr 8938	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7	6	oveq2i 6059	. . . . . 6 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
8		m1r 8921	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
9		00sr 8938	. . . . . . 7 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
10	8, 9	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
11	7, 10	eqtri 2432	. . . . 5 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = 0R
12	11	oveq2i 6059	. . . 4 |- ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( ( A .R B ) +R 0R )
13		mulclsr 8923	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )
14		0idsr 8936	. . . . 5 |- ( ( A .R B ) e. R. -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
15	13, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
16	12, 15	syl5eq 2456	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( A .R B ) )
17		mulcomsr 8928	. . . . . 6 |- ( 0R .R B ) = ( B .R 0R )
18		00sr 8938	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( B .R 0R ) = 0R )
19	17, 18	syl5eq 2456	. . . . 5 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = 0R )
20		00sr 8938	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
21	19, 20	oveqan12rd 6068	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = ( 0R +R 0R ) )
22		0idsr 8936	. . . . 5 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
23	1, 22	ax-mp 8	. . . 4 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
24	21, 23	syl6eq 2460	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = 0R )
25	16, 24	opeq12d 3960	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. = <. ( A .R B ) , 0R >. )
26	4, 25	eqtrd 2444	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   <.cop 3785  (class class class)co 6048   R.cnr 8706   0Rc0r 8707   -1Rcm1r 8709   +R cplr 8710   .R cmr 8711   x. cmul 8959

This theorem is referenced by:  axmulrcl  8993  ax1rid  9000  axrrecex  9002  axpre-mulgt0  9007

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-ni 8713  df-pli 8714  df-mi 8715  df-lti 8716  df-plpq 8749  df-mpq 8750  df-ltpq 8751  df-enq 8752  df-nq 8753  df-erq 8754  df-plq 8755  df-mq 8756  df-1nq 8757  df-rq 8758  df-ltnq 8759  df-np 8822  df-1p 8823  df-plp 8824  df-mp 8825  df-ltp 8826  df-plpr 8896  df-mpr 8897  df-enr 8898  df-nr 8899  df-plr 8900  df-mr 8901  df-0r 8903  df-m1r 8905  df-c 8960  df-mul 8966