Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulsuble0b Unicode version

Theorem mulsuble0b 24494
Description: A condition for multiplication of subtraction to be non-positive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 9201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
213adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
3 resubcl 9201 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
43ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
543adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
6 mulle0b 24493 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B ) )  <_ 
0  <->  ( ( ( A  -  B )  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B
) )  \/  (
0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B )  <_  0 ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( (
( A  -  B
)  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  \/  ( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 ) ) ) )
8 suble0 9378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  -  B )  <_  0  <->  A  <_  B ) )
983adant3 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  0  <->  A  <_  B ) )
10 subge0 9377 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
1110ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
12113adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
139, 12anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
14 subge0 9377 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
15143adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
16 suble0 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  0  <->  C  <_  B ) )
1716ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  0  <->  C  <_  B ) )
18173adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  0  <->  C  <_  B ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 )  <-> 
( B  <_  A  /\  C  <_  B ) ) )
20 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( B  <_  A  /\  C  <_  B )  <->  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) )
2119, 20syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 )  <-> 
( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
2213, 21orbi12d 690 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( ( A  -  B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  \/  ( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B )  <_  0 ) )  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )
237, 22bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    x. cmul 8832    <_ cle 8958    - cmin 9127
This theorem is referenced by:  brbtwn2  25092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514
  Copyright terms: Public domain W3C validator