Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulveczer Unicode version

Theorem mulveczer 25479
 Description: Multiplication of a vector by zero. (Contributed by FL, 12-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
mulveczer.1
mulveczer.2 GId
mulveczer.3
mulveczer.4
mulveczer.5
mulveczer.6 GId
Assertion
Ref Expression
mulveczer

Proof of Theorem mulveczer
StepHypRef Expression
1 mulveczer.3 . . . . . . . . . . 11
2 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11
31, 2eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10
4 mulveczer.4 . . . . . . . . . . 11
5 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11
64, 5eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10
73, 6op1st 6128 . . . . . . . . 9
87eqcomi 2287 . . . . . . . 8
9 eqid 2283 . . . . . . . 8
10 mulveczer.2 . . . . . . . 8 GId
118, 9, 10rngo0cl 21065 . . . . . . 7
128, 9, 10rngo0lid 21067 . . . . . . . 8
1312eqcomd 2288 . . . . . . 7
1411, 13mpdan 649 . . . . . 6
15143ad2ant2 977 . . . . 5
1615oveq1d 5873 . . . 4
17 simp1 955 . . . . 5
18 simp3 957 . . . . 5
191eqcomi 2287 . . . . . . . 8
2019rneqi 4905 . . . . . . 7
218, 20, 10rngo0cl 21065 . . . . . 6
22213ad2ant2 977 . . . . 5
23 eqid 2283 . . . . . 6
24 eqid 2283 . . . . . 6
25 mulveczer.5 . . . . . 6
26 mulveczer.1 . . . . . 6
2723, 1, 24, 25, 26vecax5b 25459 . . . . 5
2817, 18, 22, 22, 27syl13anc 1184 . . . 4
2916, 28eqtrd 2315 . . 3
3024, 25, 26, 9, 1prodvs 25468 . . . . 5
3111, 30syl3an2 1216 . . . 4
32 mulveczer.6 . . . . 5 GId
33 eqid 2283 . . . . 5
3432, 24, 33, 26mvecrtol2 25477 . . . 4
3517, 31, 31, 31, 34syl13anc 1184 . . 3
3629, 35mpbid 201 . 2
3732, 24, 33, 26vwit 25471 . . 3
3817, 31, 37syl2anc 642 . 2
3936, 38eqtr3d 2317 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  cop 3643   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  c2nd 6121  GIdcgi 20854   cgs 20856  crngo 21042   cvec 25449 This theorem is referenced by:  mulinvsca  25480  svli2  25484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-rngo 21043  df-vec 25450
 Copyright terms: Public domain W3C validator