MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem1 Unicode version

Theorem mumullem1 20829
Description: Lemma for mumul 20831. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( mmu `  A )  =  0 )  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =  0 )

Proof of Theorem mumullem1
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 13010 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
21adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
3 zsqcl 11379 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ZZ  ->  (
p ^ 2 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^
2 )  e.  ZZ )
5 nnz 10235 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
65ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
7 nnz 10235 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
87ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  B  e.  ZZ )
9 dvdsmultr1 12811 . . . . 5  |-  ( ( ( p ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( p ^ 2 )  ||  A  -> 
( p ^ 2 )  ||  ( A  x.  B ) ) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p ^ 2 )  ||  A  ->  ( p ^
2 )  ||  ( A  x.  B )
) )
1110reximdva 2761 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p ^ 2 )  ||  A  ->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  ( A  x.  B ) ) )
12 isnsqf 20785 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  A )  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
14 nnmulcl 9955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
15 isnsqf 20785 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  NN  ->  (
( mmu `  ( A  x.  B )
)  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 )  ||  ( A  x.  B
) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  ( A  x.  B ) ) )
1711, 13, 163imtr4d 260 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  A )  =  0  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =  0 ) )
1817imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( mmu `  A )  =  0 )  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923    x. cmul 8928   NNcn 9932   2c2 9981   ZZcz 10214   ^cexp 11309    || cdivides 12779   Primecprime 13006   mmucmu 20744
This theorem is referenced by:  mumul  20831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-dvds 12780  df-prm 13007  df-mu 20750
  Copyright terms: Public domain W3C validator