Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musum Unicode version

Theorem musum 20431
 Description: The sum of the Möbius function over the divisors of gives one if , but otherwise always sums to zero. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 20433. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
musum
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem musum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . . 8
21neeq1d 2459 . . . . . . 7
3 breq1 4026 . . . . . . 7
42, 3anbi12d 691 . . . . . 6
54elrab 2923 . . . . 5
6 muval2 20372 . . . . . 6
76adantrr 697 . . . . 5
85, 7sylbi 187 . . . 4
109sumeq2dv 12176 . 2
11 simpr 447 . . . . 5
1211a1i 10 . . . 4
1312ss2rabdv 3254 . . 3
14 ssrab2 3258 . . . . . 6
15 simpr 447 . . . . . 6
1614, 15sseldi 3178 . . . . 5
17 mucl 20379 . . . . 5
1816, 17syl 15 . . . 4
1918zcnd 10118 . . 3
20 difrab 3442 . . . . . . 7
21 pm3.21 435 . . . . . . . . . . 11
2221necon1bd 2514 . . . . . . . . . 10
2322imp 418 . . . . . . . . 9
2423a1i 10 . . . . . . . 8
2524ss2rabi 3255 . . . . . . 7
2620, 25eqsstri 3208 . . . . . 6
2726sseli 3176 . . . . 5
281eqeq1d 2291 . . . . . . 7
2928elrab 2923 . . . . . 6
3029simprbi 450 . . . . 5
3127, 30syl 15 . . . 4
33 fzfid 11035 . . . 4
34 sgmss 20344 . . . 4
35 ssfi 7083 . . . 4
3633, 34, 35syl2anc 642 . . 3
3713, 19, 32, 36fsumss 12198 . 2
38 fveq2 5525 . . . . 5
3938oveq2d 5874 . . . 4
40 ssfi 7083 . . . . 5
4136, 13, 40syl2anc 642 . . . 4
42 eqid 2283 . . . . 5
43 eqid 2283 . . . . 5
44 oveq1 5865 . . . . . . . 8
4544cbvmptv 4111 . . . . . . 7
46 oveq2 5866 . . . . . . . 8
4746mpteq2dv 4107 . . . . . . 7
4845, 47syl5eq 2327 . . . . . 6
4948cbvmptv 4111 . . . . 5
5042, 43, 49sqff1o 20420 . . . 4
51 breq2 4027 . . . . . . 7
5251rabbidv 2780 . . . . . 6
53 zex 10033 . . . . . . . 8
54 prmz 12762 . . . . . . . . 9
5554ssriv 3184 . . . . . . . 8
5653, 55ssexi 4159 . . . . . . 7
5756rabex 4165 . . . . . 6
5852, 43, 57fvmpt 5602 . . . . 5
5958adantl 452 . . . 4
60 neg1cn 9813 . . . . 5
61 prmdvdsfi 20345 . . . . . . 7
62 elpwi 3633 . . . . . . 7
63 ssfi 7083 . . . . . . 7
6461, 62, 63syl2an 463 . . . . . 6
65 hashcl 11350 . . . . . 6
6664, 65syl 15 . . . . 5
67 expcl 11121 . . . . 5
6860, 66, 67sylancr 644 . . . 4
6939, 41, 50, 59, 68fsumf1o 12196 . . 3
70 fzfid 11035 . . . . 5
7161adantr 451 . . . . . . 7
72 pwfi 7151 . . . . . . 7
7371, 72sylib 188 . . . . . 6
74 ssrab2 3258 . . . . . 6
75 ssfi 7083 . . . . . 6
7673, 74, 75sylancl 643 . . . . 5
77 simprr 733 . . . . . . . 8
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
7978eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10
8079elrab 2923 . . . . . . . . 9
8180simprbi 450 . . . . . . . 8
8277, 81syl 15 . . . . . . 7
8382ralrimivva 2635 . . . . . 6
84 invdisj 4012 . . . . . 6 Disj
8583, 84syl 15 . . . . 5 Disj
8661adantr 451 . . . . . . . 8
8774, 77sseldi 3178 . . . . . . . . 9
8887, 62syl 15 . . . . . . . 8
8986, 88, 63syl2anc 642 . . . . . . 7
9089, 65syl 15 . . . . . 6
9160, 90, 67sylancr 644 . . . . 5
9270, 76, 85, 91fsumiun 12279 . . . 4
9361adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
94 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
96 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . 12
9793, 95, 96sylc 56 . . . . . . . . . . 11
98 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13
9961, 94, 98syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
100 hashdom 11361 . . . . . . . . . . . 12
10199, 93, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
10297, 101mpbird 223 . . . . . . . . . 10
103 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . 13
10499, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12
105 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11
107 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14
10861, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
110109nn0zd 10115 . . . . . . . . . . 11
111 elfz5 10790 . . . . . . . . . . 11
112106, 110, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
113102, 112mpbird 223 . . . . . . . . 9
114 eqidd 2284 . . . . . . . . 9
115 eqeq2 2292 . . . . . . . . . 10
116115rspcev 2884 . . . . . . . . 9
117113, 114, 116syl2anc 642 . . . . . . . 8
118117ralrimiva 2626 . . . . . . 7
119 rabid2 2717 . . . . . . 7
120118, 119sylibr 203 . . . . . 6
121 iunrab 3949 . . . . . 6
122120, 121syl6reqr 2334 . . . . 5
123122sumeq1d 12174 . . . 4
124 elfznn0 10822 . . . . . . . . . 10
125124adantl 452 . . . . . . . . 9
126 expcl 11121 . . . . . . . . 9
12760, 125, 126sylancr 644 . . . . . . . 8
128 fsumconst 12252 . . . . . . . 8
12976, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . 7
13081adantl 452 . . . . . . . . 9
131130oveq2d 5874 . . . . . . . 8
132131sumeq2dv 12176 . . . . . . 7
133 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9
134 hashbc 11391 . . . . . . . . 9
13561, 133, 134syl2an 463 . . . . . . . 8
136135oveq1d 5873 . . . . . . 7
137129, 132, 1363eqtr4d 2325 . . . . . 6
138137sumeq2dv 12176 . . . . 5
139 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8
140139negidi 9115 . . . . . . 7
141140oveq1i 5868 . . . . . 6
142 binom1p 12289 . . . . . . 7
14360, 108, 142sylancr 644 . . . . . 6
144141, 143syl5eqr 2329 . . . . 5
145 eqeq2 2292 . . . . . 6
146 eqeq2 2292 . . . . . 6
147 nprmdvds1 12790 . . . . . . . . . . . . 13
148 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14
150149notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13
151147, 150syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12
152151ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . 11
153 rabeq0 3476 . . . . . . . . . . 11
154152, 153sylibr 203 . . . . . . . . . 10
155154fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
156 hash0 11355 . . . . . . . . 9
157155, 156syl6eq 2331 . . . . . . . 8
158157oveq2d 5874 . . . . . . 7
159 0cn 8831 . . . . . . . 8
160 exp0 11108 . . . . . . . 8
161159, 160ax-mp 8 . . . . . . 7
162158, 161syl6eq 2331 . . . . . 6
163 df-ne 2448 . . . . . . . . . . 11
164 eluz2b3 10291 . . . . . . . . . . . 12
165164biimpri 197 . . . . . . . . . . 11
166163, 165sylan2br 462 . . . . . . . . . 10
167 exprmfct 12789 . . . . . . . . . 10
168166, 167syl 15 . . . . . . . . 9
169 rabn0 3474 . . . . . . . . 9
170168, 169sylibr 203 . . . . . . . 8
17161adantr 451 . . . . . . . . 9
172 hashnncl 11354 . . . . . . . . 9
173171, 172syl 15 . . . . . . . 8
174170, 173mpbird 223 . . . . . . 7
1751740expd 11261 . . . . . 6
176145, 146, 162, 175ifbothda 3595 . . . . 5
177138, 144, 1763eqtr2d 2321 . . . 4
17892, 123, 1773eqtr3d 2323 . . 3
17969, 178eqtr3d 2317 . 2
18010, 37, 1793eqtr3d 2323 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   cdif 3149   wss 3152  c0 3455  cif 3565  cpw 3625  ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858   cdom 6861  cfn 6863  cc 8735  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   cle 8868  cneg 9038  cn 9746  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230  cfz 10782  cexp 11104   cbc 11315  chash 11337  csu 12158   cdivides 12531  cprime 12758   cpc 12889  cmu 20332 This theorem is referenced by:  musumsum  20432  muinv  20433 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-mu 20338
 Copyright terms: Public domain W3C validator