MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Unicode version

Theorem musumsum 20432
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
musumsum.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
musumsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
musumsum.4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
musumsum.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
musumsum  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Distinct variable groups:    k, m, A    k, n, m    ph, k, m    B, k    C, m
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( m, n)    C( k, n)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
21sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
3 musum 20431 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
54oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B ) )
6 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
7 sgmss 20344 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
82, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
9 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
11 musumsum.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
12 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  NN
1312sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  k  e.  NN )
14 mucl 20379 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
mmu `  k )  e.  ZZ )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  ZZ )
1615zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1716adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  A )  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }
)  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1810, 11, 17fsummulc1 12247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
) )
19 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 1  x.  B ) )
20 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 0  x.  B ) )
2119, 20ifsb 3574 . . . . 5  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )
22 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { 1 }  <-> 
m  =  1 )
2322bicomi 193 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  <->  m  e.  { 1 } )
2423a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
m  =  1  <->  m  e.  { 1 } ) )
25 mulid2 8836 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
26 mul02 8990 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  B )  =  0 )
2724, 25, 26ifbieq12d 3587 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2811, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2921, 28syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B ,  0 ) )
305, 18, 293eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
)  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
3130sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
32 musumsum.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
3332snssd 3760 . . 3  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  A )
3433sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  m  e.  A )
3534, 11syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  B  e.  CC )
3635ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  {
1 } B  e.  CC )
37 musumsum.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3837olcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  A  e.  Fin )
)
39 sumss2 12199 . . 3  |-  ( ( ( { 1 } 
C_  A  /\  A. m  e.  { 1 } B  e.  CC )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  A  e.  Fin ) )  ->  sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  {
1 } ,  B ,  0 ) )
4033, 36, 38, 39syl21anc 1181 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
4111ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  A  B  e.  CC )
42 musumsum.1 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
4342eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4443rspcv 2880 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4532, 41, 44sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4642sumsn 12213 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4732, 45, 46syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4831, 40, 473eqtr2d 2321 1  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   sum_csu 12158    || cdivides 12531   mmucmu 20332
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  20643  dchrvmasum2lem  20645  mudivsum  20679  mulogsum  20681  mulog2sumlem2  20684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-mu 20338
  Copyright terms: Public domain W3C validator