MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Unicode version

Theorem musumsum 20979
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
musumsum.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
musumsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
musumsum.4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
musumsum.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
musumsum  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Distinct variable groups:    k, m, A    k, n, m    ph, k, m    B, k    C, m
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( m, n)    C( k, n)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
21sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
3 musum 20978 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
54oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B ) )
6 fzfid 11314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
7 sgmss 20891 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
9 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
11 musumsum.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
12 elrabi 3092 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  k  e.  NN )
13 mucl 20926 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
mmu `  k )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  ZZ )
1514zcnd 10378 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1615adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  A )  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }
)  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1710, 11, 16fsummulc1 12570 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
) )
18 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 1  x.  B ) )
19 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 0  x.  B ) )
2018, 19ifsb 3750 . . . . 5  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )
21 elsn 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { 1 }  <-> 
m  =  1 )
2221bicomi 195 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  <->  m  e.  { 1 } )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
m  =  1  <->  m  e.  { 1 } ) )
24 mulid2 9091 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
25 mul02 9246 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  B )  =  0 )
2623, 24, 25ifbieq12d 3763 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2711, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2820, 27syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B ,  0 ) )
295, 17, 283eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
)  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
3029sumeq2dv 12499 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
31 musumsum.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
3231snssd 3945 . . 3  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  A )
3332sselda 3350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  m  e.  A )
3433, 11syldan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  B  e.  CC )
3534ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  {
1 } B  e.  CC )
36 musumsum.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3736olcd 384 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  A  e.  Fin )
)
38 sumss2 12522 . . 3  |-  ( ( ( { 1 } 
C_  A  /\  A. m  e.  { 1 } B  e.  CC )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  A  e.  Fin ) )  ->  sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  {
1 } ,  B ,  0 ) )
3932, 35, 37, 38syl21anc 1184 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
4011ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  A  B  e.  CC )
41 musumsum.1 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
4241eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4342rspcv 3050 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4431, 40, 43sylc 59 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4541sumsn 12536 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4631, 44, 45syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4730, 39, 463eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   sum_csu 12481    || cdivides 12854   mmucmu 20879
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21190  dchrvmasum2lem  21192  mudivsum  21226  mulogsum  21228  mulog2sumlem2  21231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-mu 20885
  Copyright terms: Public domain W3C validator