MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Unicode version

Theorem musumsum 20485
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
musumsum.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
musumsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
musumsum.4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
musumsum.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
musumsum  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Distinct variable groups:    k, m, A    k, n, m    ph, k, m    B, k    C, m
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( m, n)    C( k, n)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
21sselda 3214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
3 musum 20484 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
54oveq1d 5915 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B ) )
6 fzfid 11082 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
7 sgmss 20397 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
82, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
9 ssfi 7126 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
11 musumsum.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
12 ssrab2 3292 . . . . . . . . 9  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  NN
1312sseli 3210 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  k  e.  NN )
14 mucl 20432 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
mmu `  k )  e.  ZZ )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  ZZ )
1615zcnd 10165 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1716adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  A )  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }
)  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1810, 11, 17fsummulc1 12294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
) )
19 oveq1 5907 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 1  x.  B ) )
20 oveq1 5907 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 0  x.  B ) )
2119, 20ifsb 3608 . . . . 5  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )
22 elsn 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { 1 }  <-> 
m  =  1 )
2322bicomi 193 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  <->  m  e.  { 1 } )
2423a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
m  =  1  <->  m  e.  { 1 } ) )
25 mulid2 8881 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
26 mul02 9035 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  B )  =  0 )
2724, 25, 26ifbieq12d 3621 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2811, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2921, 28syl5eq 2360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B ,  0 ) )
305, 18, 293eqtr3d 2356 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
)  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
3130sumeq2dv 12223 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
32 musumsum.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
3332snssd 3797 . . 3  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  A )
3433sselda 3214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  m  e.  A )
3534, 11syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  B  e.  CC )
3635ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  {
1 } B  e.  CC )
37 musumsum.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3837olcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  A  e.  Fin )
)
39 sumss2 12246 . . 3  |-  ( ( ( { 1 } 
C_  A  /\  A. m  e.  { 1 } B  e.  CC )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  A  e.  Fin ) )  ->  sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  {
1 } ,  B ,  0 ) )
4033, 36, 38, 39syl21anc 1181 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
4111ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  A  B  e.  CC )
42 musumsum.1 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
4342eleq1d 2382 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4443rspcv 2914 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4532, 41, 44sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4642sumsn 12260 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4732, 45, 46syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4831, 40, 473eqtr2d 2354 1  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   {crab 2581    C_ wss 3186   ifcif 3599   {csn 3674   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787   NNcn 9791   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829   sum_csu 12205    || cdivides 12578   mmucmu 20385
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  20696  dchrvmasum2lem  20698  mudivsum  20732  mulogsum  20734  mulog2sumlem2  20737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-pc 12937  df-mu 20391
  Copyright terms: Public domain W3C validator