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Theorem mvdco 27264
Description: Composing two permutations moves at most the union of the points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mvdco  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )

Proof of Theorem mvdco
StepHypRef Expression
1 inundif 3674 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) )  =  G
21coeq2i 5000 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( F  o.  G
)
3 coundi 5338 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
42, 3eqtr3i 2434 . . . . . 6  |-  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
54difeq1i 3429 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) ) 
\  _I  )
6 difundir 3562 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  )
) )  \  _I  )  =  ( (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
75, 6eqtri 2432 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
87dmeqi 5038 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  dom  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
9 dmun 5043 . . 3  |-  dom  (
( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)  =  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
108, 9eqtri 2432 . 2  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  ( dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
11 inss2 3530 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  _I  )  C_  _I
12 coss2 4996 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  _I  )  C_  _I  ->  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
)
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
14 cocnvcnv1 5347 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  ( F  o.  _I  )
15 relcnv 5209 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' `' F
16 coi1 5352 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' `' F  ->  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F
1814, 17eqtr3i 2434 . . . . . 6  |-  ( F  o.  _I  )  =  `' `' F
19 cnvcnvss 5292 . . . . . 6  |-  `' `' F  C_  F
2018, 19eqsstri 3346 . . . . 5  |-  ( F  o.  _I  )  C_  F
2113, 20sstri 3325 . . . 4  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  F
22 ssdif 3450 . . . 4  |-  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
C_  F  ->  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )
)
23 dmss 5036 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  \  _I  )
25 difss 3442 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( G 
\  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
26 dmss 5036 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
28 dmcoss 5102 . . . 4  |-  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  C_  dom  ( G  \  _I  )
2927, 28sstri 3325 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( G  \  _I  )
30 unss12 3487 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  )  /\  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )  C_ 
dom  ( G  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) ) )
3124, 29, 30mp2an 654 . 2  |-  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) )
3210, 31eqsstri 3346 1  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288    _I cid 4461   `'ccnv 4844   dom cdm 4845    o. ccom 4849   Rel wrel 4850
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  27267  symgsssg  27284  symgfisg  27285  symggen  27287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857
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