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Theorem mvdco 27379
Description: Composing two permutations moves at most the union of the points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mvdco  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )

Proof of Theorem mvdco
StepHypRef Expression
1 inundif 3708 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) )  =  G
21coeq2i 5036 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( F  o.  G
)
3 coundi 5374 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
42, 3eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
54difeq1i 3463 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) ) 
\  _I  )
6 difundir 3596 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  )
) )  \  _I  )  =  ( (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
75, 6eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
87dmeqi 5074 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  dom  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
9 dmun 5079 . . 3  |-  dom  (
( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)  =  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
108, 9eqtri 2458 . 2  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  ( dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
11 inss2 3564 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  _I  )  C_  _I
12 coss2 5032 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  _I  )  C_  _I  ->  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
14 cocnvcnv1 5383 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  ( F  o.  _I  )
15 relcnv 5245 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' `' F
16 coi1 5388 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' `' F  ->  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F
1814, 17eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( F  o.  _I  )  =  `' `' F
19 cnvcnvss 5328 . . . . . 6  |-  `' `' F  C_  F
2018, 19eqsstri 3380 . . . . 5  |-  ( F  o.  _I  )  C_  F
2113, 20sstri 3359 . . . 4  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  F
22 ssdif 3484 . . . 4  |-  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
C_  F  ->  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )
)
23 dmss 5072 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  \  _I  )
25 difss 3476 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( G 
\  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
26 dmss 5072 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
28 dmcoss 5138 . . . 4  |-  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  C_  dom  ( G  \  _I  )
2927, 28sstri 3359 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( G  \  _I  )
30 unss12 3521 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  )  /\  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )  C_ 
dom  ( G  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) ) )
3124, 29, 30mp2an 655 . 2  |-  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) )
3210, 31eqsstri 3380 1  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322    _I cid 4496   `'ccnv 4880   dom cdm 4881    o. ccom 4885   Rel wrel 4886
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  27382  symgsssg  27399  symgfisg  27400  symggen  27402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893
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