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Theorem mvdco 27388
Description: Composing two permutations moves at most the union of the points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mvdco  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )

Proof of Theorem mvdco
StepHypRef Expression
1 inundif 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) )  =  G
21coeq2i 4844 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( F  o.  G
)
3 coundi 5174 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
42, 3eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
54difeq1i 3290 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) ) 
\  _I  )
6 difundir 3422 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  )
) )  \  _I  )  =  ( (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
75, 6eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
87dmeqi 4880 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  dom  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
9 dmun 4885 . . 3  |-  dom  (
( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)  =  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
108, 9eqtri 2303 . 2  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  ( dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
11 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  _I  )  C_  _I
12 coss2 4840 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  _I  )  C_  _I  ->  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
)
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
14 cocnvcnv1 5183 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  ( F  o.  _I  )
15 relcnv 5051 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' `' F
16 coi1 5188 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' `' F  ->  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F
1814, 17eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( F  o.  _I  )  =  `' `' F
19 cnvcnvss 5128 . . . . . 6  |-  `' `' F  C_  F
2018, 19eqsstri 3208 . . . . 5  |-  ( F  o.  _I  )  C_  F
2113, 20sstri 3188 . . . 4  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  F
22 ssdif 3311 . . . 4  |-  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
C_  F  ->  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )
)
23 dmss 4878 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  ) )
2421, 22, 23mp2b 9 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  \  _I  )
25 difss 3303 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( G 
\  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
26 dmss 4878 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
28 dmcoss 4944 . . . 4  |-  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  C_  dom  ( G  \  _I  )
2927, 28sstri 3188 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( G  \  _I  )
30 unss12 3347 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  )  /\  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )  C_ 
dom  ( G  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) ) )
3124, 29, 30mp2an 653 . 2  |-  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) )
3210, 31eqsstri 3208 1  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    o. ccom 4693   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  27391  symgsssg  27408  symgfisg  27409  symggen  27411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701
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