MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Unicode version

Theorem mvrf 16519
Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing  X
i for each  i. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables  f  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3rngidcl 15715 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
6 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6rng0cl 15716 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
9 ifcl 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
105, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
1110ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  R )
)
12 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
1311, 12fmptd 5922 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
14 fvex 5771 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
15 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4383 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16elmap 7071 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
1813, 17sylibr 205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
19 mvrf.s . . . . . 6  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2442 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
21 mvrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
22 mvrf.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2319, 2, 20, 21, 22psrbas 16474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2423adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2518, 24eleqtrrd 2519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  B )
26 eqid 2442 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2725, 26fmptd 5922 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B )
28 mvrf.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2928, 20, 6, 3, 22, 1mvrfval 16515 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
3029feq1d 5609 . 2  |-  ( ph  ->  ( V : I --> B  <->  ( x  e.  I  |->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B ) )
3127, 30mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715   ifcif 3763    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   "cima 4910   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   Fincfn 7138   0cc0 9021   1c1 9022   NNcn 10031   NN0cn0 10252   Basecbs 13500   0gc0g 13754   Ringcrg 15691   1rcur 15693   mPwSer cmps 16437   mVar cmvr 16438
This theorem is referenced by:  mvrf1  16520  mvrcl2  16521  subrgmvrf  16556  mplbas2  16562  mvrf2  16583  evlseu  19968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-psr 16448  df-mvr 16449
  Copyright terms: Public domain W3C validator