MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Structured version   Unicode version

Theorem mvrf1 16482
Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mvrf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrf1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrf1.n  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mvrf1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables  h  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 mvrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 mvrf.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 16481 . 2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
7 mvrf1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  .1.  =/=  .0.  )
9 simp2r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  ( V `  x )  =  ( V `  y ) )
109fveq1d 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( ( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ) )
11 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
1443ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  I  e.  W )
1553ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  R  e.  Ring )
16 simp2ll 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  x  e.  I )
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 16480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
18 simp2lr 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  y  e.  I )
1911mvridlem 16476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  W  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
2014, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
212, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20mvrval2 16479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2210, 17, 213eqtr3d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
23 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  x  =  y )
24 mpteqb 5812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0  ->  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
25 1nn0 10230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
26 0nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
2725, 26keepel 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
2924, 28mprg 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )
30 iftrue 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  1 )
31 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  y  <->  x  =  y ) )
3231ifbid 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) )
3330, 32eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  <->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3433rspcv 3041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  ->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3529, 34syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  I  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
37 ax-1ne0 9052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
38 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =  0  <-> 
if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
3938necon3abid 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =/=  0  <->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
4037, 39mpbii 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
41 iffalse 3739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
4240, 41nsyl2 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  x  =  y )
4336, 42syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  x  =  y )
)
4423, 43mtod 170 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
45 iffalse 3739 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4722, 46eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  .0.  )
48473expia 1155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  .1.  =  .0.  ) )
4948necon1ad 2666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  (  .1.  =/=  .0.  ->  x  =  y ) )
508, 49mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  x  =  y )
5150expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
5251ralrimivva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
53 dff13 5997 . 2  |-  ( V : I -1-1-> B  <->  ( V : I --> B  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  x
)  =  ( V `
 y )  ->  x  =  y )
) )
546, 52, 53sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   {crab 2702   ifcif 3732    e. cmpt 4259   `'ccnv 4870   "cima 4874   -->wf 5443   -1-1->wf1 5444   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    ^m cmap 7011   Fincfn 7102   0cc0 8983   1c1 8984   NNcn 9993   NN0cn0 10214   Basecbs 13462   0gc0g 13716   Ringcrg 15653   1rcur 15655   mPwSer cmps 16399   mVar cmvr 16400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-psr 16410  df-mvr 16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator