MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Unicode version

Theorem mvrf1 16170
Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mvrf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrf1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrf1.n  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mvrf1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables  h  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 mvrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 mvrf.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 16169 . 2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
7 mvrf1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  .1.  =/=  .0.  )
9 simp2r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  ( V `  x )  =  ( V `  y ) )
109fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( ( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
1443ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  I  e.  W )
1553ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  R  e.  Ring )
16 simp2ll 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  x  e.  I )
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 16168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
18 simp2lr 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  y  e.  I )
1911mvridlem 16164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  W  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
2014, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
212, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20mvrval2 16167 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2210, 17, 213eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
23 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  x  =  y )
24 mpteqb 5614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0  ->  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
25 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
26 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
2725, 26keepel 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
2924, 28mprg 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )
30 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  1 )
31 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  y  <->  x  =  y ) )
3231ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) )
3330, 32eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  <->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3433rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  ->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3529, 34syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  I  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3616, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
37 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
38 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =  0  <-> 
if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
3938necon3abid 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =/=  0  <->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
4037, 39mpbii 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
41 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
4240, 41nsyl2 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  x  =  y )
4336, 42syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  x  =  y )
)
4423, 43mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
45 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4644, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4722, 46eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  .0.  )
48473expia 1153 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  .1.  =  .0.  ) )
4948necon1ad 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  (  .1.  =/=  .0.  ->  x  =  y ) )
508, 49mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  x  =  y )
5150expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
5251ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
53 dff13 5783 . 2  |-  ( V : I -1-1-> B  <->  ( V : I --> B  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  x
)  =  ( V `
 y )  ->  x  =  y )
) )
546, 52, 53sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   ifcif 3565    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339   mPwSer cmps 16087   mVar cmvr 16088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098  df-mvr 16099
  Copyright terms: Public domain W3C validator