MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrid Unicode version

Theorem mvrid 16168
Description: The  X
i-th coefficient of the term  X i is  1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mvrid  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
Distinct variable groups:    y, W    y, h, I    h, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    D( y, h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    V( y, h)    W( h)    Y( y, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrid
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
7 mvrval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
82mvridlem 16164 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
95, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9mvrval2 16167 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
11 eqid 2283 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
12 iftrue 3571 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  ->  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.
1410, 13syl6eq 2331 1  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   ifcif 3565    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   0gc0g 13400   1rcur 15339   mVar cmvr 16088
This theorem is referenced by:  mvrf1  16170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-mvr 16099
  Copyright terms: Public domain W3C validator