MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrid Unicode version

Theorem mvrid 16184
Description: The  X
i-th coefficient of the term  X i is  1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mvrid  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
Distinct variable groups:    y, W    y, h, I    h, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    D( y, h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    V( y, h)    W( h)    Y( y, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrid
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
7 mvrval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
82mvridlem 16180 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
95, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9mvrval2 16183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
11 eqid 2296 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
12 iftrue 3584 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  ->  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  if ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.
1410, 13syl6eq 2344 1  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   ifcif 3578    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   0gc0g 13416   1rcur 15355   mVar cmvr 16104
This theorem is referenced by:  mvrf1  16186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-mvr 16115
  Copyright terms: Public domain W3C validator