MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvridlem Structured version   Unicode version

Theorem mvridlem 16488
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mvridlem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mvridlem  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    y, h, I    y, V    h, X, y
Allowed substitution hints:    D( y, h)    V( h)

Proof of Theorem mvridlem
StepHypRef Expression
1 1nn0 10242 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10241 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3798 . . . 4  |-  if ( y  =  X , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2438 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5896 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
7 nn0supp 10278 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
9 snfi 7190 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
10 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
1110neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  -.  y  =  X
)
12 iffalse 3748 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1413adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if (
y  =  X , 
1 ,  0 )  =  0 )
1514suppss2 6303 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )
16 ssfi 7332 . . . 4  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
179, 15, 16sylancr 646 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
188, 17eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
19 mvridlem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2019psrbag 16436 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
216, 18, 20mpbir2and 890 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996   NNcn 10005   NN0cn0 10226
This theorem is referenced by:  mvrid  16492  mvrf1  16494  mplcoe3  16534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator