MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvridlem Unicode version

Theorem mvridlem 16164
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mvridlem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mvridlem  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    y, h, I    y, V    h, X, y
Allowed substitution hints:    D( y, h)    V( h)

Proof of Theorem mvridlem
StepHypRef Expression
1 1nn0 9981 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3622 . . . 4  |-  if ( y  =  X , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5684 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
7 nn0supp 10017 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
9 snfi 6941 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
10 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
1110neneqd 2462 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  -.  y  =  X
)
12 iffalse 3572 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if (
y  =  X , 
1 ,  0 )  =  0 )
1514suppss2 6073 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )
16 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
179, 15, 16sylancr 644 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
188, 17eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
19 mvridlem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2019psrbag 16112 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
216, 18, 20mpbir2and 888 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  mvrid  16168  mvrf1  16170  mplcoe3  16210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator