MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvridlem Unicode version

Theorem mvridlem 16446
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mvridlem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mvridlem  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    y, h, I    y, V    h, X, y
Allowed substitution hints:    D( y, h)    V( h)

Proof of Theorem mvridlem
StepHypRef Expression
1 1nn0 10201 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10200 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3764 . . . 4  |-  if ( y  =  X , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2412 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5860 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
7 nn0supp 10237 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
9 snfi 7154 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
10 eldifsni 3896 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
1110neneqd 2591 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  -.  y  =  X
)
12 iffalse 3714 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if (
y  =  X , 
1 ,  0 )  =  0 )
1514suppss2 6267 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )
16 ssfi 7296 . . . 4  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
179, 15, 16sylancr 645 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
188, 17eqeltrrd 2487 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
19 mvridlem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2019psrbag 16394 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
216, 18, 20mpbir2and 889 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   ifcif 3707   {csn 3782    e. cmpt 4234   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   0cc0 8954   1c1 8955   NNcn 9964   NN0cn0 10185
This theorem is referenced by:  mvrid  16450  mvrf1  16452  mplcoe3  16492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186
  Copyright terms: Public domain W3C validator