MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrval2 Unicode version

Theorem mvrval2 16183
Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
mvrval2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mvrval2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Distinct variable groups:    y, W    y, h, I    h, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    D( y, h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    F( y, h)    V( y, h)    W( h)    Y( y, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
7 mvrval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mvrval 16182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
98fveq1d 5543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F ) )
10 mvrval2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
11 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  <->  F  =  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
1211ifbid 3596 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
13 eqid 2296 . . . 4  |-  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
14 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
154, 14eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
16 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
173, 16eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
1815, 17ifex 3636 . . . 4  |-  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
1912, 13, 18fvmpt 5618 . . 3  |-  ( F  e.  D  ->  (
( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) `  F )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
2010, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
219, 20eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801   ifcif 3578    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   0gc0g 13416   1rcur 15355   mVar cmvr 16104
This theorem is referenced by:  mvrid  16184  mvrf1  16186  mvrcl  16209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-mvr 16115
  Copyright terms: Public domain W3C validator