Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcl1 Unicode version

Theorem mzpcl1 26807
Description: Defining property 1 of a polynomially closed function set  P: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )

Proof of Theorem mzpcl1
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  F  e.  ZZ )
2 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5555 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  V  e. 
_V )
5 elmzpcl 26804 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 201 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprll 738 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P )
97, 8syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P )
10 sneq 3651 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  { f }  =  { F } )
1110xpeq2d 4713 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { F } ) )
1211eleq1d 2349 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P ) )
1312rspcva 2882 . 2  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P
)  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 642 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799
This theorem is referenced by:  mzpincl  26812  mzpconst  26813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mzpcl 26801
  Copyright terms: Public domain W3C validator