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Theorem mzpcl2 26788
Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set  P: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Distinct variable groups:    g, V    P, g    g, F

Proof of Theorem mzpcl2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
2 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5759 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  V  e.  _V )
5 elmzpcl 26784 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 203 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprlr 741 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )
10 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
g `  f )  =  ( g `  F ) )
1110mpteq2dv 4297 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 F ) ) )
1211eleq1d 2503 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P  <->  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P ) )
1312rspcva 3051 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 644 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   {csn 3815    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    ^m cmap 7019    + caddc 8994    x. cmul 8996   ZZcz 10283  mzPolyCldcmzpcl 26779
This theorem is referenced by:  mzpincl  26792  mzpproj  26795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-ov 6085  df-mzpcl 26781
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