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Theorem mzpcl34 26790
Description: Defining properties 3 and 4 of a polynomially closed function set  P: it is closed under pointwise addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl34  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )

Proof of Theorem mzpcl34
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  F  e.  P )
2 simp3 960 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  G  e.  P )
3 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V ) )
43elfvexd 5761 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  V  e.  _V )
5 elmzpcl 26785 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
73, 6mpbid 203 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) )
8 simprr 735 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )
10 oveq1 6090 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  g ) )
1110eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  g )  e.  P ) )
12 oveq1 6090 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  x.  g )  =  ( F  o F  x.  g ) )
1312eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  g )  e.  P ) )
1411, 13anbi12d 693 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
)  <->  ( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g )  e.  P
) ) )
15 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  G
) )
1615eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  G )  e.  P ) )
17 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  x.  g
)  =  ( F  o F  x.  G
) )
1817eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  G )  e.  P ) )
1916, 18anbi12d 693 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g
)  e.  P )  <-> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) ) )
2014, 19rspc2va 3061 . 2  |-  ( ( ( F  e.  P  /\  G  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )  -> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) )
211, 2, 9, 20syl21anc 1184 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ^m cmap 7020    + caddc 8995    x. cmul 8997   ZZcz 10284  mzPolyCldcmzpcl 26780
This theorem is referenced by:  mzpincl  26793  mzpadd  26797  mzpmul  26798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-mzpcl 26782
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