Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcl34 Unicode version

Theorem mzpcl34 26809
 Description: Defining properties 3 and 4 of a polynomially closed function set : it is closed under pointwise addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl34 mzPolyCld

Proof of Theorem mzpcl34
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . 2 mzPolyCld
2 simp3 957 . 2 mzPolyCld
3 simp1 955 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld
4 elfvdm 5554 . . . . . 6 mzPolyCld mzPolyCld
5 elex 2796 . . . . . 6 mzPolyCld
63, 4, 53syl 18 . . . . 5 mzPolyCld
7 elmzpcl 26804 . . . . 5 mzPolyCld
86, 7syl 15 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld
93, 8mpbid 201 . . 3 mzPolyCld
10 simprr 733 . . 3
119, 10syl 15 . 2 mzPolyCld
12 oveq1 5865 . . . . 5
1312eleq1d 2349 . . . 4
14 oveq1 5865 . . . . 5
1514eleq1d 2349 . . . 4
1613, 15anbi12d 691 . . 3
17 oveq2 5866 . . . . 5
1817eleq1d 2349 . . . 4
19 oveq2 5866 . . . . 5
2019eleq1d 2349 . . . 4
2118, 20anbi12d 691 . . 3
2216, 21rspc2va 2891 . 2
231, 2, 11, 22syl21anc 1181 1 mzPolyCld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687   cdm 4689  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772   caddc 8740   cmul 8742  cz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799 This theorem is referenced by:  mzpincl  26812  mzpadd  26816  mzpmul  26817 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mzpcl 26801
 Copyright terms: Public domain W3C validator