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Theorem mzpcl34 26809
Description: Defining properties 3 and 4 of a polynomially closed function set  P: it is closed under pointwise addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl34  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )

Proof of Theorem mzpcl34
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  F  e.  P )
2 simp3 957 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  G  e.  P )
3 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V ) )
4 elfvdm 5554 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  dom mzPolyCld )
5 elex 2796 . . . . . 6  |-  ( V  e.  dom mzPolyCld  ->  V  e. 
_V )
63, 4, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  V  e.  _V )
7 elmzpcl 26804 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) )
10 simprr 733 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
) )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )
12 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  g ) )
1312eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  g )  e.  P ) )
14 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  x.  g )  =  ( F  o F  x.  g ) )
1514eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  g )  e.  P ) )
1613, 15anbi12d 691 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
)  <->  ( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g )  e.  P
) ) )
17 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  G
) )
1817eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  G )  e.  P ) )
19 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  x.  g
)  =  ( F  o F  x.  G
) )
2019eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  G )  e.  P ) )
2118, 20anbi12d 691 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g
)  e.  P )  <-> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) ) )
2216, 21rspc2va 2891 . 2  |-  ( ( ( F  e.  P  /\  G  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )  -> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) )
231, 2, 11, 22syl21anc 1181 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799
This theorem is referenced by:  mzpincl  26812  mzpadd  26816  mzpmul  26817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mzpcl 26801
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