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Theorem mzpcl34 26912
Description: Defining properties 3 and 4 of a polynomially closed function set  P: it is closed under pointwise addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl34  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )

Proof of Theorem mzpcl34
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  F  e.  P )
2 simp3 957 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  G  e.  P )
3 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V ) )
4 elfvdm 5570 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  dom mzPolyCld )
5 elex 2809 . . . . . 6  |-  ( V  e.  dom mzPolyCld  ->  V  e. 
_V )
63, 4, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  V  e.  _V )
7 elmzpcl 26907 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) )
10 simprr 733 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
) )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )
12 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  g ) )
1312eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  g )  e.  P ) )
14 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o F  x.  g )  =  ( F  o F  x.  g ) )
1514eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  g )  e.  P ) )
1613, 15anbi12d 691 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
)  <->  ( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g )  e.  P
) ) )
17 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  +  g )  =  ( F  o F  +  G
) )
1817eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  +  g )  e.  P  <->  ( F  o F  +  G )  e.  P ) )
19 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( F  o F  x.  g
)  =  ( F  o F  x.  G
) )
2019eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( F  o F  x.  g )  e.  P  <->  ( F  o F  x.  G )  e.  P ) )
2118, 20anbi12d 691 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F  o F  +  g )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  g
)  e.  P )  <-> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) ) )
2216, 21rspc2va 2904 . 2  |-  ( ( ( F  e.  P  /\  G  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )  -> 
( ( F  o F  +  G )  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G
)  e.  P ) )
231, 2, 11, 22syl21anc 1181 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( ( F  o F  +  G
)  e.  P  /\  ( F  o F  x.  G )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788    + caddc 8756    x. cmul 8758   ZZcz 10040  mzPolyCldcmzpcl 26902
This theorem is referenced by:  mzpincl  26915  mzpadd  26919  mzpmul  26920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-mzpcl 26904
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