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Theorem mzpclall 26908
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 26905 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables  v 
f  g  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 5890 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
3 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (mzPolyCld `  v )  =  (mzPolyCld `  V ) )
42, 3eleq12d 2364 . 2  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
) )
5 ssid 3210 . . 3  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
6 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
^m  v )  e. 
_V
7 zex 10049 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
86, 7constmap 26891 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
98rgen 2621 . . . . 5  |-  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )
10 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
117, 10elmap 6812 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  <->  g :
v --> ZZ )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : v --> ZZ 
/\  f  e.  v )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
1311, 12sylanb 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  /\  f  e.  v )  ->  ( g `  f
)  e.  ZZ )
1413ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  v ) )  -> 
( g `  f
)  e.  ZZ )
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )
1614, 15fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ )
177, 6elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
1816, 17sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
1918rgen 2621 . . . . 5  |-  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
209, 19pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
21 zaddcl 10075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
2221adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
23 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
256a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  v )  e. 
_V )
26 inidm 3391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  v )  i^i  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  v
)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
28 zmulcl 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
2928adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
3127, 30jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ  /\  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
327, 6elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  f :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
337, 6elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  g :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3432, 33anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
357, 6elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
367, 6elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3735, 36anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ ) )
3831, 34, 373imtr4i 257 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  -> 
( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
3938rgen2a 2622 . . . 4  |-  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
4020, 39pm3.2i 441 . . 3  |-  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
41 elmzpcl 26907 . . . 4  |-  ( v  e.  _V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) ) )
4210, 41ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) )
435, 40, 42mpbir2an 886 . 2  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )
444, 43vtoclg 2856 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788    + caddc 8756    x. cmul 8758   ZZcz 10040  mzPolyCldcmzpcl 26902
This theorem is referenced by:  mzpcln0  26909  mzpincl  26915  mzpf  26917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-mzpcl 26904
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