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Theorem mzpclall 26805
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 26802 is well defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables  v 
f  g  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 5874 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (mzPolyCld `  v )  =  (mzPolyCld `  V ) )
42, 3eleq12d 2351 . 2  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
) )
5 ssid 3197 . . 3  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
6 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
^m  v )  e. 
_V
7 zex 10033 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
86, 7constmap 26788 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
98rgen 2608 . . . . 5  |-  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )
10 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
117, 10elmap 6796 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  <->  g :
v --> ZZ )
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : v --> ZZ 
/\  f  e.  v )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
1311, 12sylanb 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  /\  f  e.  v )  ->  ( g `  f
)  e.  ZZ )
1413ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  v ) )  -> 
( g `  f
)  e.  ZZ )
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )
1614, 15fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ )
177, 6elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
1816, 17sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
1918rgen 2608 . . . . 5  |-  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
209, 19pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
21 zaddcl 10059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
2221adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
23 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
256a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  v )  e. 
_V )
26 inidm 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  v )  i^i  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  v
)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
28 zmulcl 10066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
2928adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
3127, 30jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ  /\  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
327, 6elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  f :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
337, 6elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  g :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3432, 33anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
357, 6elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
367, 6elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3735, 36anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ ) )
3831, 34, 373imtr4i 257 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  -> 
( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
3938rgen2a 2609 . . . 4  |-  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
4020, 39pm3.2i 441 . . 3  |-  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
41 elmzpcl 26804 . . . 4  |-  ( v  e.  _V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) ) )
4210, 41ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) )
435, 40, 42mpbir2an 886 . 2  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )
444, 43vtoclg 2843 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799
This theorem is referenced by:  mzpcln0  26806  mzpincl  26812  mzpf  26814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26801
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