Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Unicode version

Theorem mzpclall 26784
 Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 26781 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall mzPolyCld

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . 4
21oveq2d 6097 . . 3
3 fveq2 5728 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld
42, 3eleq12d 2504 . 2 mzPolyCld mzPolyCld
5 ssid 3367 . . 3
6 ovex 6106 . . . . . . 7
7 zex 10291 . . . . . . 7
86, 7constmap 26767 . . . . . 6
98rgen 2771 . . . . 5
10 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
117, 10elmap 7042 . . . . . . . . . 10
12 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . 10
1311, 12sylanb 459 . . . . . . . . 9
1413ancoms 440 . . . . . . . 8
15 eqid 2436 . . . . . . . 8
1614, 15fmptd 5893 . . . . . . 7
177, 6elmap 7042 . . . . . . 7
1816, 17sylibr 204 . . . . . 6
1918rgen 2771 . . . . 5
209, 19pm3.2i 442 . . . 4
21 zaddcl 10317 . . . . . . . . 9
2221adantl 453 . . . . . . . 8
23 simpl 444 . . . . . . . 8
24 simpr 448 . . . . . . . 8
256a1i 11 . . . . . . . 8
26 inidm 3550 . . . . . . . 8
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6320 . . . . . . 7
28 zmulcl 10324 . . . . . . . . 9
2928adantl 453 . . . . . . . 8
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6320 . . . . . . 7
3127, 30jca 519 . . . . . 6
327, 6elmap 7042 . . . . . . 7
337, 6elmap 7042 . . . . . . 7
3432, 33anbi12i 679 . . . . . 6
357, 6elmap 7042 . . . . . . 7
367, 6elmap 7042 . . . . . . 7
3735, 36anbi12i 679 . . . . . 6
3831, 34, 373imtr4i 258 . . . . 5
3938rgen2a 2772 . . . 4
4020, 39pm3.2i 442 . . 3
41 elmzpcl 26783 . . . 4 mzPolyCld
4210, 41ax-mp 8 . . 3 mzPolyCld
435, 40, 42mpbir2an 887 . 2 mzPolyCld
444, 43vtoclg 3011 1 mzPolyCld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cmap 7018   caddc 8993   cmul 8995  cz 10282  mzPolyCldcmzpcl 26778 This theorem is referenced by:  mzpcln0  26785  mzpincl  26791  mzpf  26793 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-mzpcl 26780
 Copyright terms: Public domain W3C validator