Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclval Unicode version

Theorem mzpclval 26474
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Distinct variable groups:    V, p, f, g    i, V, p   
j, V, x, p

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables  v 
a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6029 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
32pweqd 3748 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ~P ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
41xpeq1d 4842 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } ) )
54eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ a } )  e.  p ) )
65ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p ) )
7 sneq 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  i  ->  { a }  =  { i } )
87xpeq2d 4843 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  i  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } ) )
98eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p ) )
109cbvralv 2876 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  p
)
116, 10syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p ) )
121mpteq1d 4232 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) )
1312eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
1413raleqbi1dv 2856 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. b  e.  V  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
15 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  j  ->  (
c `  b )  =  ( c `  j ) )
1615mpteq2dv 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  j  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) ) )
1716eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p ) )
18 fveq1 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c `  j )  =  ( x `  j ) )
1918cbvmptv 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )
2019eleq1i 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2117, 20syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2221cbvralv 2876 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  V  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2314, 22syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2411, 23anbi12d 692 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) ) )
2524anbi1d 686 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) )  <->  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) ) )
263, 25rabeqbidv 2895 . 2  |-  ( v  =  V  ->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) }  =  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) } )
27 df-mzpcl 26472 . 2  |- mzPolyCld  =  ( v  e.  _V  |->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
28 ovex 6046 . . . 4  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
2928pwex 4324 . . 3  |-  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
3029rabex 4296 . 2  |-  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) }  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5746 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   {crab 2654   _Vcvv 2900   ~Pcpw 3743   {csn 3758    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243    ^m cmap 6955    + caddc 8927    x. cmul 8929   ZZcz 10215  mzPolyCldcmzpcl 26470
This theorem is referenced by:  elmzpcl  26475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fv 5403  df-ov 6024  df-mzpcl 26472
  Copyright terms: Public domain W3C validator