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Theorem mzpclval 26803
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Distinct variable groups:    V, p, f, g    i, V, p   
j, V, x, p

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables  v 
a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
32pweqd 3630 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ~P ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
41xpeq1d 4712 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } ) )
54eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ a } )  e.  p ) )
65ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p ) )
7 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  i  ->  { a }  =  { i } )
87xpeq2d 4713 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  i  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } ) )
98eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p ) )
109cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  p
)
116, 10syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p ) )
12 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) )
131, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) )
1413eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
1514raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. b  e.  V  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  j  ->  (
c `  b )  =  ( c `  j ) )
1716mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  j  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) ) )
1817eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c `  j )  =  ( x `  j ) )
2019cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )
2120eleq1i 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2218, 21syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2322cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  V  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2415, 23syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2511, 24anbi12d 691 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) ) )
2625anbi1d 685 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) )  <->  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) ) )
273, 26rabeqbidv 2783 . 2  |-  ( v  =  V  ->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) }  =  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) } )
28 df-mzpcl 26801 . 2  |- mzPolyCld  =  ( v  e.  _V  |->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
29 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
3029pwex 4193 . . 3  |-  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
3130rabex 4165 . 2  |-  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) }  e.  _V
3227, 28, 31fvmpt 5602 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799
This theorem is referenced by:  elmzpcl  26804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mzpcl 26801
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