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Theorem mzpclval 26773
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Distinct variable groups:    V, p, f, g    i, V, p   
j, V, x, p

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables  v 
a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
32pweqd 3796 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ~P ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
41xpeq1d 4893 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } ) )
54eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ a } )  e.  p ) )
65ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p ) )
7 sneq 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  i  ->  { a }  =  { i } )
87xpeq2d 4894 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  i  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } ) )
98eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
a } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p ) )
109cbvralv 2924 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  p
)
116, 10syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
a } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p ) )
121mpteq1d 4282 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) )
1312eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
1413raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. b  e.  V  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p ) )
15 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  j  ->  (
c `  b )  =  ( c `  j ) )
1615mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  j  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) ) )
1716eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p ) )
18 fveq1 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c `  j )  =  ( x `  j ) )
1918cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 j ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )
2019eleq1i 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  j ) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2117, 20syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( b  =  j  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2221cbvralv 2924 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  V  (
c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )
2314, 22syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( A. b  e.  v 
( c  e.  ( ZZ  ^m  v ) 
|->  ( c `  b
) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) )
2411, 23anbi12d 692 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p ) ) )
2524anbi1d 686 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) )  <->  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) ) )
263, 25rabeqbidv 2943 . 2  |-  ( v  =  V  ->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) }  =  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) } )
27 df-mzpcl 26771 . 2  |- mzPolyCld  =  ( v  e.  _V  |->  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  |  ( ( A. a  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ a } )  e.  p  /\  A. b  e.  v  (
c  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( c `  b ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
28 ovex 6098 . . . 4  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
2928pwex 4374 . . 3  |-  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
3029rabex 4346 . 2  |-  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) }  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5798 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   ~Pcpw 3791   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010    + caddc 8985    x. cmul 8987   ZZcz 10274  mzPolyCldcmzpcl 26769
This theorem is referenced by:  elmzpcl  26774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-mzpcl 26771
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