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Theorem mzpcong 27059
Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong  |-  ( ( F  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  ->  N  ||  ( ( F `
 X )  -  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable groups:    k, X    k, V    k, Y    k, N
Allowed substitution hint:    F( k)

Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5555 . . 3  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
213anim1i 1138 . 2  |-  ( ( F  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  -> 
( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) ) )
3 simp1 955 . 2  |-  ( ( F  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  ->  F  e.  (mzPoly `  V
) )
4 simpl3l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
6 congid 27058 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( b  -  b ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( b  -  b ) )
8 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  X  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
9 vex 2791 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
109fvconst2 5729 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  X )  =  b )
118, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 X )  =  b )
12 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  Y  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
139fvconst2 5729 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  Y )  =  b )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 Y )  =  b )
1511, 14oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  X )  -  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  Y ) )  =  ( b  -  b ) )
167, 15breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  X )  -  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  Y ) ) )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  b  e.  V )
18 simpl3r 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `
 k )  -  ( Y `  k ) ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  b  ->  ( X `  k )  =  ( X `  b ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  b  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  b ) )
2119, 20oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  b  ->  (
( X `  k
)  -  ( Y `
 k ) )  =  ( ( X `
 b )  -  ( Y `  b ) ) )
2221breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( k  =  b  ->  ( N  ||  ( ( X `
 k )  -  ( Y `  k ) )  <->  N  ||  ( ( X `  b )  -  ( Y `  b ) ) ) )
2322rspcva 2882 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  V  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) )  ->  N  ||  ( ( X `  b )  -  ( Y `  b )
) )
2417, 18, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  N  ||  ( ( X `  b )  -  ( Y `  b ) ) )
25 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  X  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
26 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( c  =  X  ->  (
c `  b )  =  ( X `  b ) )
27 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )
28 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( X `
 b )  e. 
_V
2926, 27, 28fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  X
)  =  ( X `
 b ) )
3025, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  X )  =  ( X `  b ) )
31 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  Y  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
32 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( c  =  Y  ->  (
c `  b )  =  ( Y `  b ) )
33 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 b )  e. 
_V
3432, 27, 33fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  Y
)  =  ( Y `
 b ) )
3531, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  Y )  =  ( Y `  b ) )
3630, 35oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 X )  -  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  Y ) )  =  ( ( X `  b )  -  ( Y `  b )
) )
3724, 36breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  b  e.  V )  ->  N  ||  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  X
)  -  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) ) `  Y ) ) )
38 simp13l 1070 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
40 simp12l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  X  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
41 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( b : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  X  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( b `  X )  e.  ZZ )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
b `  X )  e.  ZZ )
43 simp12r 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
44 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( b : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( b `  Y )  e.  ZZ )
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
b `  Y )  e.  ZZ )
46 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
47 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  X  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( c `  X )  e.  ZZ )
4846, 40, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
c `  X )  e.  ZZ )
49 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( c `  Y )  e.  ZZ )
5046, 43, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
c `  Y )  e.  ZZ )
51 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )
52 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( c `  X )  -  (
c `  Y )
) )
53 congadd 27053 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b `  X
)  e.  ZZ  /\  ( b `  Y
)  e.  ZZ )  /\  ( ( c `
 X )  e.  ZZ  /\  ( c `
 Y )  e.  ZZ )  /\  ( N  ||  ( ( b `
 X )  -  ( b `  Y
) )  /\  N  ||  ( ( c `  X )  -  (
c `  Y )
) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b `  X )  +  ( c `  X ) )  -  ( ( b `  Y )  +  ( c `  Y ) ) ) )
5438, 42, 45, 48, 50, 51, 52, 53syl322anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b `
 X )  +  ( c `  X
) )  -  (
( b `  Y
)  +  ( c `
 Y ) ) ) )
55 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
5639, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
57 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
5846, 57syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
59 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
6059a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
61 fnfvof 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  X  e.  ( ZZ 
^m  V ) ) )  ->  ( (
b  o F  +  c ) `  X
)  =  ( ( b `  X )  +  ( c `  X ) ) )
6256, 58, 60, 40, 61syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  X )  =  ( ( b `  X
)  +  ( c `
 X ) ) )
63 fnfvof 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  Y  e.  ( ZZ 
^m  V ) ) )  ->  ( (
b  o F  +  c ) `  Y
)  =  ( ( b `  Y )  +  ( c `  Y ) ) )
6456, 58, 60, 43, 63syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  Y )  =  ( ( b `  Y
)  +  ( c `
 Y ) ) )
6562, 64oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( ( b  o F  +  c ) `
 X )  -  ( ( b  o F  +  c ) `
 Y ) )  =  ( ( ( b `  X )  +  ( c `  X ) )  -  ( ( b `  Y )  +  ( c `  Y ) ) ) )
6654, 65breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b  o F  +  c ) `  X )  -  ( ( b  o F  +  c ) `  Y ) ) )
67 congmul 27054 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b `  X
)  e.  ZZ  /\  ( b `  Y
)  e.  ZZ )  /\  ( ( c `
 X )  e.  ZZ  /\  ( c `
 Y )  e.  ZZ )  /\  ( N  ||  ( ( b `
 X )  -  ( b `  Y
) )  /\  N  ||  ( ( c `  X )  -  (
c `  Y )
) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b `  X )  x.  ( c `  X ) )  -  ( ( b `  Y )  x.  (
c `  Y )
) ) )
6838, 42, 45, 48, 50, 51, 52, 67syl322anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b `
 X )  x.  ( c `  X
) )  -  (
( b `  Y
)  x.  ( c `
 Y ) ) ) )
69 fnfvof 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  X  e.  ( ZZ 
^m  V ) ) )  ->  ( (
b  o F  x.  c ) `  X
)  =  ( ( b `  X )  x.  ( c `  X ) ) )
7056, 58, 60, 40, 69syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  X )  =  ( ( b `  X
)  x.  ( c `
 X ) ) )
71 fnfvof 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  Y  e.  ( ZZ 
^m  V ) ) )  ->  ( (
b  o F  x.  c ) `  Y
)  =  ( ( b `  Y )  x.  ( c `  Y ) ) )
7256, 58, 60, 43, 71syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  Y )  =  ( ( b `  Y
)  x.  ( c `
 Y ) ) )
7370, 72oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  (
( ( b  o F  x.  c ) `
 X )  -  ( ( b  o F  x.  c ) `
 Y ) )  =  ( ( ( b `  X )  x.  ( c `  X ) )  -  ( ( b `  Y )  x.  (
c `  Y )
) ) )
7468, 73breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  N  ||  ( ( b `  X )  -  (
b `  Y )
) )  /\  (
c : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )  ->  N  ||  ( ( ( b  o F  x.  c
) `  X )  -  ( ( b  o F  x.  c
) `  Y )
) )
75 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  X )  =  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  X ) )
76 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  Y )  =  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  Y ) )
7775, 76oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  =  ( ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 X )  -  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 Y ) ) )
7877breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( N  ||  ( ( a `  X )  -  (
a `  Y )
)  <->  N  ||  ( ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  X )  -  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
b } ) `  Y ) ) ) )
79 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  X
)  =  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) ) `  X ) )
80 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  Y
)  =  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) ) `  Y ) )
8179, 80oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( ( a `  X )  -  (
a `  Y )
)  =  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  X
)  -  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) ) `  Y ) ) )
8281breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( N  ||  (
( a `  X
)  -  ( a `
 Y ) )  <-> 
N  ||  ( (
( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  X
)  -  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( c `  b ) ) `  Y ) ) ) )
83 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  X )  =  ( b `  X ) )
84 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  Y )  =  ( b `  Y ) )
8583, 84oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( a `  X
)  -  ( a `
 Y ) )  =  ( ( b `
 X )  -  ( b `  Y
) ) )
8685breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( N  ||  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  <->  N  ||  (
( b `  X
)  -  ( b `
 Y ) ) ) )
87 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  X )  =  ( c `  X ) )
88 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  Y )  =  ( c `  Y ) )
8987, 88oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( a `  X
)  -  ( a `
 Y ) )  =  ( ( c `
 X )  -  ( c `  Y
) ) )
9089breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  ( N  ||  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  <->  N  ||  (
( c `  X
)  -  ( c `
 Y ) ) ) )
91 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( a `  X )  =  ( ( b  o F  +  c ) `  X ) )
92 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( a `  Y )  =  ( ( b  o F  +  c ) `  Y ) )
9391, 92oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  =  ( ( ( b  o F  +  c ) `
 X )  -  ( ( b  o F  +  c ) `
 Y ) ) )
9493breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( N  ||  ( ( a `  X )  -  (
a `  Y )
)  <->  N  ||  ( ( ( b  o F  +  c ) `  X )  -  (
( b  o F  +  c ) `  Y ) ) ) )
95 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( a `  X )  =  ( ( b  o F  x.  c ) `  X ) )
96 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( a `  Y )  =  ( ( b  o F  x.  c ) `  Y ) )
9795, 96oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  =  ( ( ( b  o F  x.  c ) `
 X )  -  ( ( b  o F  x.  c ) `
 Y ) ) )
9897breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( N  ||  ( ( a `  X )  -  (
a `  Y )
)  <->  N  ||  ( ( ( b  o F  x.  c ) `  X )  -  (
( b  o F  x.  c ) `  Y ) ) ) )
99 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  X )  =  ( F `  X ) )
100 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  Y )  =  ( F `  Y ) )
10199, 100oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  F  ->  (
( a `  X
)  -  ( a `
 Y ) )  =  ( ( F `
 X )  -  ( F `  Y ) ) )
102101breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  ( N  ||  ( ( a `
 X )  -  ( a `  Y
) )  <->  N  ||  (
( F `  X
)  -  ( F `
 Y ) ) ) )
10316, 37, 66, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102mzpindd 26824 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  /\  F  e.  (mzPoly `  V
) )  ->  N  ||  ( ( F `  X )  -  ( F `  Y )
) )
1042, 3, 103syl2anc 642 1  |-  ( ( F  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( X  e.  ( ZZ  ^m  V )  /\  Y  e.  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  V  N  ||  ( ( X `  k )  -  ( Y `  k )
) ) )  ->  N  ||  ( ( F `
 X )  -  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   ZZcz 10024    || cdivides 12531  mzPolycmzp 26800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
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