Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcong Unicode version

Theorem mzpcong 27059
 Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcong mzPoly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mzpcong
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5555 . . 3 mzPoly
213anim1i 1138 . 2 mzPoly
3 simp1 955 . 2 mzPoly mzPoly
4 simpl3l 1010 . . . . 5
5 simpr 447 . . . . 5
6 congid 27058 . . . . 5
74, 5, 6syl2anc 642 . . . 4
8 simpl2l 1008 . . . . . 6
9 vex 2791 . . . . . . 7
109fvconst2 5729 . . . . . 6
118, 10syl 15 . . . . 5
12 simpl2r 1009 . . . . . 6
139fvconst2 5729 . . . . . 6
1412, 13syl 15 . . . . 5
1511, 14oveq12d 5876 . . . 4
167, 15breqtrrd 4049 . . 3
17 simpr 447 . . . . 5
18 simpl3r 1011 . . . . 5
19 fveq2 5525 . . . . . . . 8
20 fveq2 5525 . . . . . . . 8
2119, 20oveq12d 5876 . . . . . . 7
2221breq2d 4035 . . . . . 6
2322rspcva 2882 . . . . 5
2417, 18, 23syl2anc 642 . . . 4
25 simpl2l 1008 . . . . . 6
26 fveq1 5524 . . . . . . 7
27 eqid 2283 . . . . . . 7
28 fvex 5539 . . . . . . 7
2926, 27, 28fvmpt 5602 . . . . . 6
3025, 29syl 15 . . . . 5
31 simpl2r 1009 . . . . . 6
32 fveq1 5524 . . . . . . 7
33 fvex 5539 . . . . . . 7
3432, 27, 33fvmpt 5602 . . . . . 6
3531, 34syl 15 . . . . 5
3630, 35oveq12d 5876 . . . 4
3724, 36breqtrrd 4049 . . 3
38 simp13l 1070 . . . . 5
39 simp2l 981 . . . . . 6
40 simp12l 1068 . . . . . 6
41 ffvelrn 5663 . . . . . 6
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . 5
43 simp12r 1069 . . . . . 6
44 ffvelrn 5663 . . . . . 6
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . 5
46 simp3l 983 . . . . . 6
47 ffvelrn 5663 . . . . . 6
4846, 40, 47syl2anc 642 . . . . 5
49 ffvelrn 5663 . . . . . 6
5046, 43, 49syl2anc 642 . . . . 5
51 simp2r 982 . . . . 5
52 simp3r 984 . . . . 5
53 congadd 27053 . . . . 5
5438, 42, 45, 48, 50, 51, 52, 53syl322anc 1210 . . . 4
55 ffn 5389 . . . . . . 7
5639, 55syl 15 . . . . . 6
57 ffn 5389 . . . . . . 7
5846, 57syl 15 . . . . . 6
59 ovex 5883 . . . . . . 7
6059a1i 10 . . . . . 6
61 fnfvof 6090 . . . . . 6
6256, 58, 60, 40, 61syl22anc 1183 . . . . 5
63 fnfvof 6090 . . . . . 6
6456, 58, 60, 43, 63syl22anc 1183 . . . . 5
6562, 64oveq12d 5876 . . . 4
6654, 65breqtrrd 4049 . . 3
67 congmul 27054 . . . . 5
6838, 42, 45, 48, 50, 51, 52, 67syl322anc 1210 . . . 4
69 fnfvof 6090 . . . . . 6
7056, 58, 60, 40, 69syl22anc 1183 . . . . 5
71 fnfvof 6090 . . . . . 6
7256, 58, 60, 43, 71syl22anc 1183 . . . . 5
7370, 72oveq12d 5876 . . . 4
7468, 73breqtrrd 4049 . . 3
75 fveq1 5524 . . . . 5
76 fveq1 5524 . . . . 5
7775, 76oveq12d 5876 . . . 4
7877breq2d 4035 . . 3
79 fveq1 5524 . . . . 5
80 fveq1 5524 . . . . 5
8179, 80oveq12d 5876 . . . 4
8281breq2d 4035 . . 3
83 fveq1 5524 . . . . 5
84 fveq1 5524 . . . . 5
8583, 84oveq12d 5876 . . . 4
8685breq2d 4035 . . 3
87 fveq1 5524 . . . . 5
88 fveq1 5524 . . . . 5
8987, 88oveq12d 5876 . . . 4
9089breq2d 4035 . . 3
91 fveq1 5524 . . . . 5
92 fveq1 5524 . . . . 5
9391, 92oveq12d 5876 . . . 4
9493breq2d 4035 . . 3
95 fveq1 5524 . . . . 5
96 fveq1 5524 . . . . 5
9795, 96oveq12d 5876 . . . 4
9897breq2d 4035 . . 3
99 fveq1 5524 . . . . 5
100 fveq1 5524 . . . . 5
10199, 100oveq12d 5876 . . . 4
102101breq2d 4035 . . 3
10316, 37, 66, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102mzpindd 26824 . 2 mzPoly
1042, 3, 103syl2anc 642 1 mzPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772   caddc 8740   cmul 8742   cmin 9037  cz 10024   cdivides 12531  mzPolycmzp 26800 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
 Copyright terms: Public domain W3C validator