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Theorem mzpexpmpt 26494
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, D
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ 0 ) )
21mpteq2dv 4238 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
43imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ b
) )
65mpteq2dv 4238 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ b ) ) )
76eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
b ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
9 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )
109mpteq2dv 4238 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) ) )
1110eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1211imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
13 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ D
) )
1413mpteq2dv 4238 . . . . 5  |-  ( a  =  D  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ D ) ) )
1514eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( a  =  D  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  D  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
17 mzpf 26485 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
18 zsscn 10223 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
19 fss 5540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> CC )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> CC )
21 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )
2221fmpt 5830 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V
) --> CC )
2320, 22sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC )
24 nfra1 2700 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC
25 rsp 2710 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  ->  A  e.  CC ) )
2625imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
2726exp0d 11445 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
2824, 27mpteq2da 4236 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 ) )
2923, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  1 ) )
30 elfvex 5699 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
31 1z 10244 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32 mzpconstmpt 26489 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3330, 31, 32sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3429, 33eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
35233ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC )
36 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
b  e.  NN0 )
37 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  b  e.  NN0
3824, 37nfan 1836 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )
3926adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
40 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  b  e.  NN0 )
4139, 40expp1d 11452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( A ^
( b  +  1 ) )  =  ( ( A ^ b
)  x.  A ) )
4238, 41mpteq2da 4236 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
4335, 36, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
44 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
45 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )
46 mzpmulmpt 26491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4744, 45, 46syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4843, 47eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
49483exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5049a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
514, 8, 12, 16, 34, 50nn0ind 10299 . 2  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) )
5251impcom 420 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ^cexp 11310  mzPolycmzp 26471
This theorem is referenced by:  diophin  26523  rmydioph  26777  rmxdioph  26779  expdiophlem2  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-seq 11252  df-exp 11311  df-mzpcl 26472  df-mzp 26473
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