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Theorem mzpexpmpt 26926
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, D
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ 0 ) )
21mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
43imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ b
) )
65mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ b ) ) )
76eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
b ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )
109mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) ) )
1110eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1211imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ D
) )
1413mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  D  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ D ) ) )
1514eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( a  =  D  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  D  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
17 mzpf 26917 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
18 zsscn 10048 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
19 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> CC )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> CC )
21 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )
2221fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V
) --> CC )
2320, 22sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC )
24 nfra1 2606 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC
25 rsp 2616 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  ->  A  e.  CC ) )
2625imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
2726exp0d 11255 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
2824, 27mpteq2da 4121 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 ) )
2923, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  1 ) )
30 elfvex 5571 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
31 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32 mzpconstmpt 26921 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3330, 31, 32sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3429, 33eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
35233ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC )
36 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
b  e.  NN0 )
37 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  b  e.  NN0
3824, 37nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )
3926adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
40 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  b  e.  NN0 )
4139, 40expp1d 11262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( A ^
( b  +  1 ) )  =  ( ( A ^ b
)  x.  A ) )
4238, 41mpteq2da 4121 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
4335, 36, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
44 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
45 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )
46 mzpmulmpt 26923 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4744, 45, 46syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4843, 47eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
49483exp 1150 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5049a2d 23 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
514, 8, 12, 16, 34, 50nn0ind 10124 . 2  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) )
5251impcom 419 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120  mzPolycmzp 26903
This theorem is referenced by:  diophin  26955  rmydioph  27210  rmxdioph  27212  expdiophlem2  27218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905
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