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Theorem mzpexpmpt 26793
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, D
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ 0 ) )
21mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
43imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ b
) )
65mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ b ) ) )
76eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
b ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
9 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )
109mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) ) )
1110eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1211imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
13 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ D
) )
1413mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  D  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ D ) ) )
1514eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  D  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  D  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
17 mzpf 26784 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
18 zsscn 10282 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
19 fss 5591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> CC )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> CC )
21 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )
2221fmpt 5882 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V
) --> CC )
2320, 22sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC )
24 nfra1 2748 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC
25 rsp 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  ->  A  e.  CC ) )
2625imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
2726exp0d 11509 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
2824, 27mpteq2da 4286 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 ) )
2923, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  1 ) )
30 elfvex 5750 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
31 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32 mzpconstmpt 26788 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3330, 31, 32sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3429, 33eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
35233ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC )
36 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
b  e.  NN0 )
37 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  b  e.  NN0
3824, 37nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )
3926adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
40 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  b  e.  NN0 )
4139, 40expp1d 11516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( A ^
( b  +  1 ) )  =  ( ( A ^ b
)  x.  A ) )
4238, 41mpteq2da 4286 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
4335, 36, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
44 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
45 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )
46 mzpmulmpt 26790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4744, 45, 46syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4843, 47eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
49483exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5049a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
514, 8, 12, 16, 34, 50nn0ind 10358 . 2  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) )
5251impcom 420 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ^cexp 11374  mzPolycmzp 26770
This theorem is referenced by:  diophin  26822  rmydioph  27076  rmxdioph  27078  expdiophlem2  27084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375  df-mzpcl 26771  df-mzp 26772
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