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Theorem mzpincl 26135
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables  f 
g  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 26133 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2 mzpclall 26128 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 intss1 3958 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
5 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
6 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  ZZ )
7 mzpcl1 26130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
98ralrimiva 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
10 ovex 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
11 snex 4297 . . . . . . . . 9  |-  { f }  e.  _V
1210, 11xpex 4883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  _V
1312elint2 3950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
149, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
1514ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
17 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  V )
18 mzpcl2 26131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  a )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2019ralrimiva 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  a )
2110mptex 5832 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
2221elint2 3950 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2320, 22sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2423ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
2515, 24jca 518 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ) )
26 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726elint2 3950 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a )
28 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
2928elint2 3950 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) g  e.  a )
30 mzpcl34 26132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
31303expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  ( ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  a ) ) )
3231ralimia 2692 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  a ) )
33 r19.26 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a ) )
34 r19.26 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3532, 33, 343imtr3i 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a )  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3627, 29, 35syl2anb 465 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
37 ovex 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  +  g )  e.  _V
3837elint2 3950 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a )
39 ovex 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  x.  g
)  e.  _V
4039elint2 3950 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a )
4138, 40anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
4236, 41sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
4342a1i 10 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V
) )  ->  (
( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) )
4443ralrimivv 2710 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
454, 25, 44jca32 521 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) )
46 elmzpcl 26127 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  (
|^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) ) )
4745, 46mpbird 223 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
481, 47eqeltrd 2432 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   {csn 3716   |^|cint 3943    e. cmpt 4158    X. cxp 4769   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    o Fcof 6163    ^m cmap 6860    + caddc 8830    x. cmul 8832   ZZcz 10116  mzPolyCldcmzpcl 26122  mzPolycmzp 26123
This theorem is referenced by:  mzpconst  26136  mzpproj  26138  mzpadd  26139  mzpmul  26140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-mzpcl 26124  df-mzp 26125
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