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Theorem mzpincl 26812
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables  f 
g  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 26810 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2 mzpclall 26805 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 intss1 3877 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
5 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
6 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  ZZ )
7 mzpcl1 26807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
98ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
10 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
11 snex 4216 . . . . . . . . 9  |-  { f }  e.  _V
1210, 11xpex 4801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  _V
1312elint2 3869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
149, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
1514ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
17 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  V )
18 mzpcl2 26808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  a )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2019ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  a )
2110mptex 5746 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
2221elint2 3869 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2320, 22sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2423ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
2515, 24jca 518 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ) )
26 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a )
28 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
2928elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) g  e.  a )
30 mzpcl34 26809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
31303expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  ( ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  a ) ) )
3231ralimia 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  a ) )
33 r19.26 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a ) )
34 r19.26 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3532, 33, 343imtr3i 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a )  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3627, 29, 35syl2anb 465 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
37 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  +  g )  e.  _V
3837elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a )
39 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  x.  g
)  e.  _V
4039elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a )
4138, 40anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
4236, 41sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
4342a1i 10 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V
) )  ->  (
( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) )
4443ralrimivv 2634 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
454, 25, 44jca32 521 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) )
46 elmzpcl 26804 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  (
|^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) ) )
4745, 46mpbird 223 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
481, 47eqeltrd 2357 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   |^|cint 3862    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799  mzPolycmzp 26800
This theorem is referenced by:  mzpconst  26813  mzpproj  26815  mzpadd  26816  mzpmul  26817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
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