Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Unicode version

Theorem mzpincl 26805
 Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl mzPoly mzPolyCld

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 26803 . 2 mzPoly mzPolyCld
2 mzpclall 26798 . . . . 5 mzPolyCld
3 intss1 4067 . . . . 5 mzPolyCld mzPolyCld
42, 3syl 16 . . . 4 mzPolyCld
5 simpr 449 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
6 simplr 733 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
7 mzpcl1 26800 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
85, 6, 7syl2anc 644 . . . . . . . 8 mzPolyCld
98ralrimiva 2791 . . . . . . 7 mzPolyCld
10 ovex 6109 . . . . . . . . 9
11 snex 4408 . . . . . . . . 9
1210, 11xpex 4993 . . . . . . . 8
1312elint2 4059 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld
149, 13sylibr 205 . . . . . 6 mzPolyCld
1514ralrimiva 2791 . . . . 5 mzPolyCld
16 simpr 449 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
17 simplr 733 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
18 mzpcl2 26801 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
1916, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . 8 mzPolyCld
2019ralrimiva 2791 . . . . . . 7 mzPolyCld
2110mptex 5969 . . . . . . . 8
2221elint2 4059 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld
2320, 22sylibr 205 . . . . . 6 mzPolyCld
2423ralrimiva 2791 . . . . 5 mzPolyCld
2515, 24jca 520 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld
26 vex 2961 . . . . . . . . 9
2726elint2 4059 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
28 vex 2961 . . . . . . . . 9
2928elint2 4059 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
30 mzpcl34 26802 . . . . . . . . . . 11 mzPolyCld
31303expib 1157 . . . . . . . . . 10 mzPolyCld
3231ralimia 2781 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
33 r19.26 2840 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
34 r19.26 2840 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
3532, 33, 343imtr3i 258 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
3627, 29, 35syl2anb 467 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
37 ovex 6109 . . . . . . . . 9
3837elint2 4059 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
39 ovex 6109 . . . . . . . . 9
4039elint2 4059 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
4138, 40anbi12i 680 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4236, 41sylibr 205 . . . . . 6 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4342a1i 11 . . . . 5 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4443ralrimivv 2799 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
454, 25, 44jca32 523 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
46 elmzpcl 26797 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4745, 46mpbird 225 . 2 mzPolyCld mzPolyCld
481, 47eqeltrd 2512 1 mzPoly mzPolyCld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cint 4052   cmpt 4269   cxp 4879  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306   cmap 7021   caddc 8998   cmul 9000  cz 10287  mzPolyCldcmzpcl 26792  mzPolycmzp 26793 This theorem is referenced by:  mzpconst  26806  mzpproj  26808  mzpadd  26809  mzpmul  26810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-mzpcl 26794  df-mzp 26795
 Copyright terms: Public domain W3C validator