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Theorem mzpincl 26681
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables  f 
g  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 26679 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2 mzpclall 26674 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 intss1 4025 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
5 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
6 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  ZZ )
7 mzpcl1 26676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
98ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
10 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
11 snex 4365 . . . . . . . . 9  |-  { f }  e.  _V
1210, 11xpex 4949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  _V
1312elint2 4017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
149, 13sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
1514ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)
16 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
17 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  V )
18 mzpcl2 26677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  a )
1916, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2019ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  a )
2110mptex 5925 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
2221elint2 4017 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2320, 22sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2423ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
2515, 24jca 519 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ) )
26 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726elint2 4017 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a )
28 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
2928elint2 4017 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) g  e.  a )
30 mzpcl34 26678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
31303expib 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  ( ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  a ) ) )
3231ralimia 2739 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  a ) )
33 r19.26 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a ) )
34 r19.26 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3532, 33, 343imtr3i 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a )  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
3627, 29, 35syl2anb 466 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
37 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  +  g )  e.  _V
3837elint2 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a )
39 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  x.  g
)  e.  _V
4039elint2 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a )
4138, 40anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  o F  x.  g )  e.  a ) )
4236, 41sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( (
f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V
) )  ->  (
( f  o F  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) )
4443ralrimivv 2757 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
454, 25, 44jca32 522 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) )
46 elmzpcl 26673 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  (
|^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  o F  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) ) )
4745, 46mpbird 224 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
481, 47eqeltrd 2478 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   |^|cint 4010    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977    + caddc 8949    x. cmul 8951   ZZcz 10238  mzPolyCldcmzpcl 26668  mzPolycmzp 26669
This theorem is referenced by:  mzpconst  26682  mzpproj  26684  mzpadd  26685  mzpmul  26686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-mzpcl 26670  df-mzp 26671
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