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Theorem mzpindd 26803
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
mzpindd.pr  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
mzpindd.ad  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
mzpindd.mu  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
mzpindd.1  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
mzpindd.2  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
mzpindd.3  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mzpindd.4  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
mzpindd.5  |-  ( x  =  ( f  o F  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
mzpindd.6  |-  ( x  =  ( f  o F  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
mzpindd.7  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
Assertion
Ref Expression
mzpindd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Distinct variable groups:    ph, x, f, g    ps, f, g    ch, x    th, x    ta, x    et, x    ze, x    si, x    rh, x    x, V, f, g   
x, A
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( f, g)    th( f, g)    ta( f, g)    et( f,
g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5758 . . . 4  |-  ( A  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
21adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  V  e.  _V )
3 mzpval 26789 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
43adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
5 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
7 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8 zex 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
97, 8constmap 26767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
1312elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ch ) )
1410, 11, 13sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
1514ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
1615adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ZZ  e.  _V )
18 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  V  e.  _V )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
20 elmapg 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
g : V --> ZZ ) )
2120biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V --> ZZ )
2217, 18, 19, 21syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V
--> ZZ )
23 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  f  e.  V )
2422, 23ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )
2624, 25fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
278, 7elmap 7042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
2826, 27sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
29 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
3029adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  th )
31 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
3231elrab 3092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  th ) )
3328, 30, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
3433ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
3516, 34jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } ) )
36 zaddcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
38 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
407a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
41 inidm 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  i^i  ( ZZ  ^m  V ) )  =  ( ZZ  ^m  V
)
4237, 38, 39, 40, 40, 41off 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
4342ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  o F  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  o F  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
45 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
46453expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ze )
4744, 46jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
48 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
5049, 38, 39, 40, 40, 41off 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5150ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
53 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
54533expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  si )
5547, 52, 54jca32 522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  si ) ) )
5655ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ( ( ( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) ) )
578, 7elmap 7042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5857anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta ) )
598, 7elmap 7042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
6059anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et )  <->  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) )
6158, 60anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  <-> 
( ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) ) )
628, 7elmap 7042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6362anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  <->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
648, 7elmap 7042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6564anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )  <->  ( (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si )
)
6663, 65anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
)  <->  ( ( ( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) )
6756, 61, 663imtr4g 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  ->  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
) ) )
68 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
6968elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta ) )
70 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
7170elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et ) )
7269, 71anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) ) )
73 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  o F  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
7473elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze ) )
75 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  o F  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
7675elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  si ) )
7774, 76anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  (
( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si ) ) )
7867, 72, 773imtr4g 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  ->  ( ( f  o F  +  g )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) )
7978ralrimivv 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
8079adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
816, 35, 80jca32 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) )
82 elmzpcl 26783 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  ( { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8382adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8481, 83mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V ) )
85 intss1 4065 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8684, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
874, 86eqsstrd 3382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8887sselda 3348 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  A  e.  { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8988an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  /\  V  e.  _V )  ->  A  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
902, 89mpdan 650 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
91 mzpindd.7 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
9291elrab 3092 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( A  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  rh ) )
9392simprbi 451 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  ->  rh )
9490, 93syl 16 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   {csn 3814   |^|cint 4050    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ^m cmap 7018    + caddc 8993    x. cmul 8995   ZZcz 10282  mzPolyCldcmzpcl 26778  mzPolycmzp 26779
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26804  mzpsubst  26805  mzpcompact2lem  26808  mzpcong  27037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-mzpcl 26780  df-mzp 26781
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