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Theorem mzpindd 26927
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
mzpindd.pr  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
mzpindd.ad  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
mzpindd.mu  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
mzpindd.1  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
mzpindd.2  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
mzpindd.3  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mzpindd.4  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
mzpindd.5  |-  ( x  =  ( f  o F  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
mzpindd.6  |-  ( x  =  ( f  o F  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
mzpindd.7  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
Assertion
Ref Expression
mzpindd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Distinct variable groups:    ph, x, f, g    ps, f, g    ch, x    th, x    ta, x    et, x    ze, x    si, x    rh, x    x, V, f, g   
x, A
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( f, g)    th( f, g)    ta( f, g)    et( f,
g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5571 . . . 4  |-  ( A  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
21adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  V  e.  _V )
3 mzpval 26913 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
43adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
5 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )
65a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
7 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8 zex 10049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
97, 8constmap 26891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
1312elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ch ) )
1410, 11, 13sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
1514ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
1615adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
178a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ZZ  e.  _V )
18 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  V  e.  _V )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
20 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
g : V --> ZZ ) )
2120biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V --> ZZ )
2217, 18, 19, 21syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V
--> ZZ )
23 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  f  e.  V )
24 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : V --> ZZ  /\  f  e.  V )  ->  ( g `  f
)  e.  ZZ )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )
2725, 26fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
288, 7elmap 6812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
2927, 28sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
30 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
3130adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  th )
32 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
3332elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  th ) )
3429, 31, 33sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
3534ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
3616, 35jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } ) )
37 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
39 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
417a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
42 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  i^i  ( ZZ  ^m  V ) )  =  ( ZZ  ^m  V
)
4338, 39, 40, 41, 41, 42off 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
4443ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  o F  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
4544adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  o F  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
46 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
47463expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ze )
4845, 47jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
49 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
5150, 39, 40, 41, 41, 42off 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5251ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
54 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
55543expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  si )
5648, 53, 55jca32 521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  si ) ) )
5756ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ( ( ( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) ) )
588, 7elmap 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5958anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta ) )
608, 7elmap 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
6160anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et )  <->  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) )
6259, 61anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  <-> 
( ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) ) )
638, 7elmap 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6463anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  <->  ( (
f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
658, 7elmap 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6665anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )  <->  ( (
f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si )
)
6764, 66anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
)  <->  ( ( ( f  o F  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) )
6857, 62, 673imtr4g 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  ->  ( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
) ) )
69 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
7069elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta ) )
71 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
7271elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et ) )
7370, 72anbi12i 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) ) )
74 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  o F  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
7574elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o F  +  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  o F  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze ) )
76 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  o F  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
7776elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o F  x.  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  si ) )
7875, 77anbi12i 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( ( f  o F  +  g )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  (
( f  o F  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si ) ) )
7968, 73, 783imtr4g 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  ->  ( ( f  o F  +  g )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) )
8079ralrimivv 2647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
8180adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
826, 36, 81jca32 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) )
83 elmzpcl 26907 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  ( { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8483adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  o F  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  o F  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8582, 84mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V ) )
86 intss1 3893 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8785, 86syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
884, 87eqsstrd 3225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8988sselda 3193 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  A  e.  { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
9089an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  /\  V  e.  _V )  ->  A  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
912, 90mpdan 649 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
92 mzpindd.7 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
9392elrab 2936 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( A  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  rh ) )
9493simprbi 450 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  ->  rh )
9591, 94syl 15 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   |^|cint 3878    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788    + caddc 8756    x. cmul 8758   ZZcz 10040  mzPolyCldcmzpcl 26902  mzPolycmzp 26903
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26928  mzpsubst  26929  mzpcompact2lem  26932  mzpcong  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905
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