Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Unicode version

Theorem mzpmfp 26804
 Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp mzPoly eval flds

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 10290 . . . . . . 7
2 eqid 2436 . . . . . . . 8 flds flds
3 cnfldbas 16707 . . . . . . . 8 fld
42, 3ressbas2 13520 . . . . . . 7 flds
51, 4ax-mp 8 . . . . . 6 flds
6 eqid 2436 . . . . . . . 8 eval flds eval flds
76, 5evlval 19945 . . . . . . 7 eval flds evalSub flds
87rneqi 5096 . . . . . 6 eval flds evalSub flds
9 simpl 444 . . . . . 6
10 cncrng 16722 . . . . . . . 8 fld
11 zsubrg 16752 . . . . . . . 8 SubRingfld
122subrgcrng 15872 . . . . . . . 8 fld SubRingfld flds
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . . 7 flds
1413a1i 11 . . . . . 6 flds
152subrgrng 15871 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
1611, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8 flds
175subrgid 15870 . . . . . . . 8 flds SubRingflds
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . 7 SubRingflds
1918a1i 11 . . . . . 6 SubRingflds
20 simpr 448 . . . . . 6
215, 8, 9, 14, 19, 20mpfconst 19959 . . . . 5 eval flds
22 simpl 444 . . . . . 6
2313a1i 11 . . . . . 6 flds
2418a1i 11 . . . . . 6 SubRingflds
25 simpr 448 . . . . . 6
265, 8, 22, 23, 24, 25mpfproj 19960 . . . . 5 eval flds
27 simp2r 984 . . . . . 6 eval flds eval flds eval flds
28 simp3r 986 . . . . . 6 eval flds eval flds eval flds
29 zex 10291 . . . . . . . 8
30 cnfldadd 16708 . . . . . . . . 9 fld
312, 30ressplusg 13571 . . . . . . . 8 flds
3229, 31ax-mp 8 . . . . . . 7 flds
338, 32mpfaddcl 19963 . . . . . 6 eval flds eval flds eval flds
3427, 28, 33syl2anc 643 . . . . 5 eval flds eval flds eval flds
35 cnfldmul 16709 . . . . . . . . 9 fld
362, 35ressmulr 13582 . . . . . . . 8 flds
3729, 36ax-mp 8 . . . . . . 7 flds
388, 37mpfmulcl 19964 . . . . . 6 eval flds eval flds eval flds
3927, 28, 38syl2anc 643 . . . . 5 eval flds eval flds eval flds
40 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
41 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
42 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
43 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
44 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
45 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
46 eleq1 2496 . . . . 5 eval flds eval flds
4721, 26, 34, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46mzpindd 26803 . . . 4 mzPoly eval flds
48 simprlr 740 . . . . . 6 eval flds eval flds mzPoly eval flds mzPoly mzPoly
49 simprrr 742 . . . . . 6 eval flds eval flds mzPoly eval flds mzPoly mzPoly
50 mzpadd 26795 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
5148, 49, 50syl2anc 643 . . . . 5 eval flds eval flds mzPoly eval flds mzPoly mzPoly
52 mzpmul 26796 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
5348, 49, 52syl2anc 643 . . . . 5 eval flds eval flds mzPoly eval flds mzPoly mzPoly
54 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
55 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
56 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
57 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
58 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
59 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
60 eleq1 2496 . . . . 5 mzPoly mzPoly
61 mzpconst 26792 . . . . . 6 mzPoly
6261adantlr 696 . . . . 5 eval flds mzPoly
63 mzpproj 26794 . . . . . 6 mzPoly
6463adantlr 696 . . . . 5 eval flds mzPoly
65 simpr 448 . . . . 5 eval flds eval flds
665, 32, 37, 8, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 65mpfind 19965 . . . 4 eval flds mzPoly
6747, 66impbida 806 . . 3 mzPoly eval flds
6867eqrdv 2434 . 2 mzPoly eval flds
69 fvprc 5722 . . 3 mzPoly
70 df-evl 16421 . . . . . . 7 eval evalSub
7170reldmmpt2 6181 . . . . . 6 eval
7271ovprc1 6109 . . . . 5 eval flds
7372rneqd 5097 . . . 4 eval flds
74 rn0 5127 . . . 4
7573, 74syl6eq 2484 . . 3 eval flds
7669, 75eqtr4d 2471 . 2 mzPoly eval flds
7768, 76pm2.61i 158 1 mzPoly eval flds
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cmap 7018  cc 8988   caddc 8993   cmul 8995  cz 10282  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  cmulr 13530  crg 15660  ccrg 15661  SubRingcsubrg 15864   evalSub ces 16409   eval cevl 16410  ℂfldccnfld 16703  mzPolycmzp 26779 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-cnfld 16704  df-mzpcl 26780  df-mzp 26781
 Copyright terms: Public domain W3C validator