Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpnegmpt Unicode version

Theorem mzpnegmpt 26328
Description: Negation of a polynomial function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpnegmpt  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u A )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpnegmpt
StepHypRef Expression
1 df-neg 9187 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
21mpteq2i 4205 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( 0  -  A ) )
3 elfvex 5662 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
4 0z 10186 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
5 mzpconstmpt 26324 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  V ) )
63, 4, 5sylancl 643 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  0 )  e.  (mzPoly `  V ) )
7 mzpsubmpt 26327 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
86, 7mpancom 650 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( 0  -  A ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
92, 8syl5eqel 2450 1  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u A )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   0cc0 8884    - cmin 9184   -ucneg 9185   ZZcz 10175  mzPolycmzp 26306
This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  26397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-mzpcl 26307  df-mzp 26308
  Copyright terms: Public domain W3C validator