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Theorem mzprename 26807
Description: Simplified version of mzpsubst 26806 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, R    x, V

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
2 zex 10292 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  W  e.  _V )
4 elmapg 7032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  <-> 
x : W --> ZZ ) )
52, 3, 4sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  <->  x : W --> ZZ ) )
61, 5mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x : W
--> ZZ )
7 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  R : V
--> W )
8 fcompt 5905 . . . . . . 7  |-  ( ( x : W --> ZZ  /\  R : V --> W )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
96, 7, 8syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
10 fveq1 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
b `  ( R `  a ) )  =  ( x `  ( R `  a )
) )
11 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) )  =  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )
12 fvex 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( R `  a ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1413ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1514eqcomd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
x `  ( R `  a ) )  =  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) ) `  x
) )
1615mpteq2dva 4296 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( a  e.  V  |->  ( x `
 ( R `  a ) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) )
179, 16eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) )
1817fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( F `  ( x  o.  R
) )  =  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )
1918mpteq2dva 4296 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  R
) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) ) )
20193adant2 977 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) ) ) )
21 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  _V )
22 ffvelrn 5869 . . . . . 6  |-  ( ( R : V --> W  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
23223ad2antl3 1122 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
24 mzpproj 26795 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( R `  a )  e.  W )  -> 
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2521, 23, 24syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2625ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
27 mzpsubst 26806 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
2826, 27syld3an3 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
2920, 28eqeltrd 2511 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    e. cmpt 4267    o. ccom 4883   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   ZZcz 10283  mzPolycmzp 26780
This theorem is referenced by:  mzpresrename  26808  eldioph2  26821  eldioph2b  26822  diophren  26875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-mzpcl 26781  df-mzp 26782
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