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Theorem mzprename 26827
Description: Simplified version of mzpsubst 26826 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, R    x, V

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
2 zex 10033 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  W  e.  _V )
4 elmapg 6785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  <-> 
x : W --> ZZ ) )
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  <->  x : W --> ZZ ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x : W
--> ZZ )
7 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  R : V
--> W )
8 fcompt 5694 . . . . . . 7  |-  ( ( x : W --> ZZ  /\  R : V --> W )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
10 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
b `  ( R `  a ) )  =  ( x `  ( R `  a )
) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) )  =  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )
12 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( R `  a ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1514eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
x `  ( R `  a ) )  =  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) ) `  x
) )
1615mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( a  e.  V  |->  ( x `
 ( R `  a ) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) )
179, 16eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) )
1817fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( F `  ( x  o.  R
) )  =  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )
1918mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  R
) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) ) )
20193adant2 974 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) ) ) )
21 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  _V )
22 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( R : V --> W  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
23223ad2antl3 1119 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
24 mzpproj 26815 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( R `  a )  e.  W )  -> 
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2625ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
27 mzpsubst 26826 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
2826, 27syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
2920, 28eqeltrd 2357 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   ZZcz 10024  mzPolycmzp 26800
This theorem is referenced by:  mzpresrename  26828  eldioph2  26841  eldioph2b  26842  diophren  26896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
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