Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Unicode version

Theorem mzpresrename 26705
Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, V

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 5354 . . . 4  |-  ( x  o.  (  _I  |`  V ) )  =  ( x  |`  V )
21fveq2i 5698 . . 3  |-  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) )  =  ( F `  ( x  |`  V ) )
32mpteq2i 4260 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
x  |`  V ) ) )
4 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  W  e.  _V )
5 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 f1oi 5680 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V
7 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V  ->  (  _I  |`  V ) : V --> V )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  V ) : V --> V
9 fss 5566 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  V ) : V --> V  /\  V  C_  W )  -> 
(  _I  |`  V ) : V --> W )
108, 9mpan 652 . . . 4  |-  ( V 
C_  W  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
11103ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
12 mzprename 26704 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  (  _I  |`  V ) : V --> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
134, 5, 11, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
143, 13syl5eqelr 2497 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288    e. cmpt 4234    _I cid 4461    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   ZZcz 10246  mzPolycmzp 26677
This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  26706  diophin  26729  rabdiophlem2  26760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-mzpcl 26678  df-mzp 26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator