Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Unicode version

Theorem mzpresrename 26151
Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, V

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 5269 . . . 4  |-  ( x  o.  (  _I  |`  V ) )  =  ( x  |`  V )
21fveq2i 5608 . . 3  |-  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) )  =  ( F `  ( x  |`  V ) )
32mpteq2i 4182 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
x  |`  V ) ) )
4 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  W  e.  _V )
5 simp3 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 f1oi 5591 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V
7 f1of 5552 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V  ->  (  _I  |`  V ) : V --> V )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  V ) : V --> V
9 fss 5477 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  V ) : V --> V  /\  V  C_  W )  -> 
(  _I  |`  V ) : V --> W )
108, 9mpan 651 . . . 4  |-  ( V 
C_  W  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
11103ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
12 mzprename 26150 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  (  _I  |`  V ) : V --> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
134, 5, 11, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
143, 13syl5eqelr 2443 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    C_ wss 3228    e. cmpt 4156    _I cid 4383    |` cres 4770    o. ccom 4772   -->wf 5330   -1-1-onto->wf1o 5333   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    ^m cmap 6857   ZZcz 10113  mzPolycmzp 26123
This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  26152  diophin  26175  rabdiophlem2  26206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-mzpcl 26124  df-mzp 26125
  Copyright terms: Public domain W3C validator