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Theorem mzpsubmpt 26924
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4125 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )
21nfel1 2442 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )
3 nfmpt1 4125 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )
43nfel1 2442 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V )
52, 4nfan 1783 . . 3  |-  F/ x
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )
6 mzpf 26917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
76ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
9 mptfcl 26901 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  B  e.  ZZ ) )
107, 8, 9sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  ZZ )
1110zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  CC )
1211mulm1d 9247 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( -u 1  x.  B
)  =  -u B
)
1312oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  (
-u 1  x.  B
) )  =  ( A  +  -u B
) )
14 mzpf 26917 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
1514ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
16 mptfcl 26901 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  A  e.  ZZ ) )
1715, 8, 16sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 10134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
1918, 11negsubd 9179 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
2013, 19eqtr2d 2329 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  -  B
)  =  ( A  +  ( -u 1  x.  B ) ) )
215, 20mpteq2da 4121 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  +  ( -u
1  x.  B ) ) ) )
22 elfvex 5571 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
23 1nn0 9997 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
2423nn0negzi 10074 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
25 mzpconstmpt 26921 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )
)
2622, 24, 25sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u
1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
27 mzpmulmpt 26923 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( -u 1  x.  B ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2826, 27mpancom 650 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
29 mzpaddmpt 26922 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3028, 29sylan2 460 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3121, 30eqeltrd 2370 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054   ZZcz 10040  mzPolycmzp 26903
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  26925  eqrabdioph  26960  lerabdioph  26989  ltrabdioph  26992  rmydioph  27210  rmxdioph  27212  expdiophlem2  27218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905
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