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Theorem mzpsubmpt 26233
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4109 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )
21nfel1 2429 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )
3 nfmpt1 4109 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )
43nfel1 2429 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V )
52, 4nfan 1771 . . 3  |-  F/ x
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )
6 mzpf 26226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
76ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
9 mptfcl 26210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  B  e.  ZZ ) )
107, 8, 9sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  ZZ )
1110zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  CC )
1211mulm1d 9231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( -u 1  x.  B
)  =  -u B
)
1312oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  (
-u 1  x.  B
) )  =  ( A  +  -u B
) )
14 mzpf 26226 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
1514ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
16 mptfcl 26210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  A  e.  ZZ ) )
1715, 8, 16sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
1918, 11negsubd 9163 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
2013, 19eqtr2d 2316 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  -  B
)  =  ( A  +  ( -u 1  x.  B ) ) )
215, 20mpteq2da 4105 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  +  ( -u
1  x.  B ) ) ) )
22 elfvex 5555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
23 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
2423nn0negzi 10058 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
25 mzpconstmpt 26230 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )
)
2622, 24, 25sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u
1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
27 mzpmulmpt 26232 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( -u 1  x.  B ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2826, 27mpancom 650 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
29 mzpaddmpt 26231 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3028, 29sylan2 460 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3121, 30eqeltrd 2357 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038   ZZcz 10024  mzPolycmzp 26212
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  26234  eqrabdioph  26269  lerabdioph  26298  ltrabdioph  26301  rmydioph  26519  rmxdioph  26521  expdiophlem2  26527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26213  df-mzp 26214
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