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Theorem mzpsubst 26826
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial.  G is expected to depend on  y and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Distinct variable groups:    x, W, y    x, F    x, V, y    x, G
Allowed substitution hints:    F( y)    G( y)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  W  e.  _V )
2 elfvex 5555 . . 3  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
323ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  V  e.  _V )
4 simp3 957 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
5 simp2 956 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
7 simpll3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
8 simpll2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
9 mzpf 26814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  G :
( ZZ  ^m  W
) --> ZZ )
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ 
/\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
119, 10sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  (mzPoly `  W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
1211expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1312ralimdv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1413imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )
1615fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
1714, 16sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) : V --> ZZ )
1817adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ )
19 zex 10033 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
20 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  V  e.  _V )
21 elmapg 6785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2219, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2318, 22mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
246, 7, 8, 23syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
25 vex 2791 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
2625fvconst2 5729 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  b )
2724, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  b )
2827mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b ) )
29 mzpconstmpt 26818 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b )  e.  (mzPoly `  W ) )
30293ad2antl1 1117 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  b )  e.  (mzPoly `  W
) )
3128, 30eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
32 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
33 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
34 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
3532, 33, 34, 23syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
36 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  -> 
( c `  b
)  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
37 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )
38 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  e.  _V
3936, 37, 38fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
4035, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b ) )
41 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  b  e.  V
)
42 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V
43 csbeq1 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  [_ a  /  y ]_ G  =  [_ b  /  y ]_ G )
4443fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
( G `  x
)
46 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y [_ a  /  y ]_ G
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
x
4846, 47nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( [_ a  /  y ]_ G `  x )
49 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  G  =  [_ a  /  y ]_ G )
5049fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5145, 48, 50cbvmpt 4110 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5244, 51fvmptg 5600 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  V  /\  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V )  -> 
( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  =  (
[_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5341, 42, 52sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b )  =  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) )
5440, 53eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5554mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) ) )
56 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  b  e.  V )
57 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
58 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ G
5958nfel1 2429 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
60 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  G  =  [_ b  /  y ]_ G )
6160eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  <->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6259, 61rspc 2878 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  [_ b  / 
y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6356, 57, 62sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
)
64 mzpf 26814 . . . . . . 7  |-  ( [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ )
6563, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ  ^m  W ) --> ZZ )
6665feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) ) )
6755, 66eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  = 
[_ b  /  y ]_ G )
6867, 63eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
69 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
70 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
72 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
73 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7472, 73syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
75 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
76 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  V  e.  _V )
77 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
78 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
79 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
81 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )
82 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
8381, 82, 13sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
8483, 16sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
85 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  V  e.  _V )
8619, 85, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ ) )
8784, 86mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
88 fnfvof 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8977, 78, 80, 87, 88syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9089mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9171, 74, 75, 76, 90syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
92 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
93 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
94 mzpaddmpt 26819 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9592, 93, 94syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9691, 95eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
97 fnfvof 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9877, 78, 80, 87, 97syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9998mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
10071, 74, 75, 76, 99syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  (
c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
101 mzpmulmpt 26820 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10292, 93, 101syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
103100, 102eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
104 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
105104mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
106105eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
107 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
108107mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )
109108eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
)  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
110 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
111110mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
112111eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
113 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
114113mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
115114eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
116 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  o F  +  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
117116mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
118117eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
119 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  o F  x.  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
120119mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
121120eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
122 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( F `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
123122mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
124123eleq1d 2349 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
12531, 68, 96, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124mzpindd 26824 . 2  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  F  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
1261, 3, 4, 5, 125syl31anc 1185 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolycmzp 26800
This theorem is referenced by:  mzprename  26827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
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