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Theorem mzpsubst 26929
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial.  G is expected to depend on  y and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Distinct variable groups:    x, W, y    x, F    x, V, y    x, G
Allowed substitution hints:    F( y)    G( y)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  W  e.  _V )
2 elfvex 5571 . . 3  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
323ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  V  e.  _V )
4 simp3 957 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
5 simp2 956 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
7 simpll3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
8 simpll2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
9 mzpf 26917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  G :
( ZZ  ^m  W
) --> ZZ )
10 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ 
/\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
119, 10sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  (mzPoly `  W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
1211expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1312ralimdv 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1413imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )
1615fmpt 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
1714, 16sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) : V --> ZZ )
1817adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ )
19 zex 10049 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
20 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  V  e.  _V )
21 elmapg 6801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2219, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2318, 22mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
246, 7, 8, 23syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
25 vex 2804 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
2625fvconst2 5745 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  b )
2724, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  b )
2827mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b ) )
29 mzpconstmpt 26921 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b )  e.  (mzPoly `  W ) )
30293ad2antl1 1117 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  b )  e.  (mzPoly `  W
) )
3128, 30eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
32 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
33 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
34 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
3532, 33, 34, 23syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
36 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  -> 
( c `  b
)  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )
38 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  e.  _V
3936, 37, 38fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
4035, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b ) )
41 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  b  e.  V
)
42 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V
43 csbeq1 3097 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  [_ a  /  y ]_ G  =  [_ b  /  y ]_ G )
4443fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
45 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
( G `  x
)
46 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y [_ a  /  y ]_ G
47 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
x
4846, 47nffv 5548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( [_ a  /  y ]_ G `  x )
49 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  G  =  [_ a  /  y ]_ G )
5049fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5145, 48, 50cbvmpt 4126 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5244, 51fvmptg 5616 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  V  /\  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V )  -> 
( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  =  (
[_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5341, 42, 52sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b )  =  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) )
5440, 53eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5554mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) ) )
56 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  b  e.  V )
57 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
58 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ G
5958nfel1 2442 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
60 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  G  =  [_ b  /  y ]_ G )
6160eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  <->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6259, 61rspc 2891 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  [_ b  / 
y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6356, 57, 62sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
)
64 mzpf 26917 . . . . . . 7  |-  ( [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ )
6563, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ  ^m  W ) --> ZZ )
6665feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) ) )
6755, 66eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  = 
[_ b  /  y ]_ G )
6867, 63eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
69 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
70 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
72 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
73 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7472, 73syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
75 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
76 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  V  e.  _V )
77 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
78 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
79 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
81 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )
82 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
8381, 82, 13sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
8483, 16sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
85 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  V  e.  _V )
8619, 85, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ ) )
8784, 86mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
88 fnfvof 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8977, 78, 80, 87, 88syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9089mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9171, 74, 75, 76, 90syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
92 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
93 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
94 mzpaddmpt 26922 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9592, 93, 94syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9691, 95eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
97 fnfvof 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9877, 78, 80, 87, 97syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9998mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  o F  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
10071, 74, 75, 76, 99syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  (
c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
101 mzpmulmpt 26923 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10292, 93, 101syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
103100, 102eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
104 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
105104mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
106105eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
107 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
108107mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )
109108eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
)  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
110 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
111110mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
112111eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
113 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
114113mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
115114eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
116 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  o F  +  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
117116mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
118117eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  +  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
119 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  o F  x.  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
120119mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
121120eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  ( b  o F  x.  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  o F  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
122 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( F `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
123122mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( a  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
124123eleq1d 2362 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
12531, 68, 96, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124mzpindd 26927 . 2  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  F  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
1261, 3, 4, 5, 125syl31anc 1185 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788    + caddc 8756    x. cmul 8758   ZZcz 10040  mzPolycmzp 26903
This theorem is referenced by:  mzprename  26930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905
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