Users' Mathboxes Mathbox for Rodolfo Medina < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  n0el Structured version   Unicode version

Theorem n0el 26710
Description: Negated membership of the empty set in another class. (Contributed by Rodolfo Medina, 25-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
n0el  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, u
Allowed substitution hint:    A( u)

Proof of Theorem n0el
StepHypRef Expression
1 df-ral 2712 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x ) )
2 df-ex 1552 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  x  <->  -. 
A. u  -.  u  e.  x )
32ralbii 2731 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. u  u  e.  x  <->  A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x )
4 alnex 1553 . . 3  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
5 imnan 413 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
65albii 1576 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  A. x  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
7 0el 3646 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x )
8 df-rex 2713 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
97, 8bitri 242 . . . 4  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
109notbii 289 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
114, 6, 103bitr4ri 271 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x
( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )
)
121, 3, 113bitr4ri 271 1  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630
This theorem is referenced by:  prter2  26732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-dif 3325  df-nul 3631
  Copyright terms: Public domain W3C validator