Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nZdef Unicode version

Theorem nZdef 25283
 Description: Two ways to define . In the first way I multiply the set by the set ( I think this is this sort of multiplication that is at the origin of the denotation ). In the second way I multiply the integer by an element of . (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
nZdef
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem nZdef
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snelpwi 4236 . . . 4
2 ax-mulf 8833 . . . . . . 7
3 zsscn 10048 . . . . . . . 8
4 xpss12 4808 . . . . . . . 8
53, 3, 4mp2an 653 . . . . . . 7
6 fssres 5424 . . . . . . 7
72, 5, 6mp2an 653 . . . . . 6
8 zex 10049 . . . . . . 7
98, 8xpex 4817 . . . . . 6
10 cnex 8834 . . . . . 6
11 fex2 5417 . . . . . 6
127, 9, 10, 11mp3an 1277 . . . . 5
138pwid 3651 . . . . 5
147fdmi 5410 . . . . . . . 8
1514dmeqi 4896 . . . . . . 7
16 dmxpid 4914 . . . . . . 7
1715, 16eqtr2i 2317 . . . . . 6
18 eqid 2296 . . . . . 6
1917, 18iscst3 25279 . . . . 5
2012, 13, 19mp3an13 1268 . . . 4
211, 20syl 15 . . 3
22 oveq1 5881 . . . . . 6
2322eqeq2d 2307 . . . . 5
2423rexbidv 2577 . . . 4
2524rexsng 3686 . . 3
26 ovres 6003 . . . . 5
2726eqeq2d 2307 . . . 4
2827rexbidva 2573 . . 3
2921, 25, 283bitrd 270 . 2
3029abbi2dv 2411 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  cpw 3638  csn 3653   cxp 4703   cdm 4705   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751   cmul 8758  cz 10040  ccst 25275 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-cst 25276
 Copyright terms: Public domain W3C validator