Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsacs Structured version   Unicode version

Theorem nacsacs 26763
Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsacs  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )

Proof of Theorem nacsacs
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
21isnacs2 26760 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  ( (mrCls `  C
) " ( ~P X  i^i  Fin )
)  =  C ) )
32simplbi 447 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   ~Pcpw 3799   "cima 4881   ` cfv 5454   Fincfn 7109  mrClscmrc 13808  ACScacs 13810  NoeACScnacs 26756
This theorem is referenced by:  isnacs3  26764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-nacs 26757
  Copyright terms: Public domain W3C validator