Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsacs Unicode version

Theorem nacsacs 26784
Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsacs  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )

Proof of Theorem nacsacs
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
21isnacs2 26781 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  ( (mrCls `  C
) " ( ~P X  i^i  Fin )
)  =  C ) )
32simplbi 446 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   ~Pcpw 3625   "cima 4692   ` cfv 5255   Fincfn 6863  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487  NoeACScnacs 26777
This theorem is referenced by:  isnacs3  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-nacs 26778
  Copyright terms: Public domain W3C validator