Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsfix Unicode version

Theorem nacsfix 26664
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Distinct variable groups:    z, C, y    y, F, z    z, X, y    x, y, z, F
Allowed substitution hints:    C( x)    X( x)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables  a 
b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  ran  F  C_  C )
213ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  C_  C )
3 elpw2g 4331 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
433ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
52, 4mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
~P C )
6 elex 2932 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  e.  ~P C  ->  ran  F  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
_V )
8 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  F  Fn  NN0 )
983ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  F  Fn  NN0 )
10 0nn0 10200 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
11 fnfvelrn 5834 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  ran  F
)
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  e. 
ran  F )
13 ne0i 3602 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  =/=  (/) )
15 nn0re 10194 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
1615ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
17 nn0re 10194 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
1817ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
19 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  NN0 )
20 simpll3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  a  e.  NN0 )
22 nn0z 10268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
23 nn0z 10268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
24 eluz 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2625biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  a  <_  b )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  a ) )
2726adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)
28 incssnn0 26663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
2920, 21, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
30 ssequn1 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  a ) 
C_  ( F `  b )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
3129, 30sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
32 eqimss 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  b ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
)
34 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( F `  c )  =  ( F `  b ) )
3534sseq2d 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
) )
3635rspcev 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  b ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
3719, 33, 36syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
38 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  NN0 )
39 simpll3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
40 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  b  e.  NN0 )
41 eluz 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4223, 22, 41syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4342biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  b  <_  a )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  b ) )
4443adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)
45 incssnn0 26663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  b  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
4639, 40, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
47 ssequn2 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  b ) 
C_  ( F `  a )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
4846, 47sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
49 eqimss 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  a )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  a ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
)
51 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( F `  c )  =  ( F `  a ) )
5251sseq2d 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
) )
5352rspcev 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  a ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5438, 50, 53syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5516, 18, 37, 54lecasei 9143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5655ralrimivva 2766 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
57 uneq1 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
y  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  z ) )
5857sseq1d 3343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
( y  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w
) )
5958rexbidv 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6059ralbidv 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6160ralrn 5840 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. z  e. 
ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
62 uneq2 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
6362sseq1d 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  w
) )
6463rexbidv 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
6564ralrn 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. w  e. 
ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
66 sseq2 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6766rexrn 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( E. w  e.  ran  F
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6867ralbidv 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. b  e.  NN0  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w 
<-> 
A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6965, 68bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. c  e. 
NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7069ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. a  e.  NN0  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w 
<-> 
A. a  e.  NN0  A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7161, 70bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
729, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
7356, 72mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z )  C_  w )
74 isipodrs 14550 . . . . 5  |-  ( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  <->  ( ran  F  e.  _V  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w ) )
757, 14, 73, 74syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset )
76 isnacs3 26662 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) ) )
7776simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
78773ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
79 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
(toInc `  y )  =  (toInc `  ran  F ) )
8079eleq1d 2478 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( (toInc `  y
)  e. Dirset  <->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset ) )
81 unieq 3992 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  ->  U. y  =  U. ran  F )
82 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
y  =  ran  F
)
8381, 82eleq12d 2480 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( U. y  e.  y  <->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8480, 83imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y )  <-> 
( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e.  ran  F ) ) )
8584rspcva 3018 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  ~P C  /\  A. y  e. 
~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
865, 78, 85syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8775, 86mpd 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  U. ran  F  e.  ran  F )
88 fvelrnb 5741 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
899, 88syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
9087, 89mpbid 202 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F )
91 fvssunirn 5721 . . . . . . 7  |-  ( F `
 z )  C_  U.
ran  F
92 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  =  U. ran  F )
9391, 92syl5sseqr 3365 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  C_  ( F `  y )
)
94 simpll3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
95 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  y  e.  NN0 )
96 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)
97 incssnn0 26663 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9993, 98eqssd 3333 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
10099ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
101100expr 599 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( F `  y
)  =  U. ran  F  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
102101reximdva 2786 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  NN0  ( F `
 y )  = 
U. ran  F  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
10390, 102mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   ran crn 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    <_ cle 9085   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452  Moorecmre 13770  Dirsetcdrs 14347  toInccipo 14540  NoeACScnacs 26654
This theorem is referenced by:  hbt  27210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ocomp 13513  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-preset 14348  df-drs 14349  df-poset 14366  df-ipo 14541  df-nacs 26655
  Copyright terms: Public domain W3C validator