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Theorem natpropd 14173
 Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucpropd.1 f f
fucpropd.2 compf compf
fucpropd.3 f f
fucpropd.4 compf compf
fucpropd.a
fucpropd.b
fucpropd.c
fucpropd.d
Assertion
Ref Expression
natpropd Nat Nat

Proof of Theorem natpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucpropd.1 . . . 4 f f
2 fucpropd.2 . . . 4 compf compf
3 fucpropd.3 . . . 4 f f
4 fucpropd.4 . . . 4 compf compf
5 fucpropd.a . . . 4
6 fucpropd.b . . . 4
7 fucpropd.c . . . 4
8 fucpropd.d . . . 4
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8funcpropd 14097 . . 3
11 nfv 1629 . . . 4
12 nfcsb1v 3283 . . . . 5 comp comp
1312a1i 11 . . . 4 comp comp
14 fvex 5742 . . . . 5
1514a1i 11 . . . 4
16 nfv 1629 . . . . . 6
17 nfcsb1v 3283 . . . . . . 7 comp comp
1817a1i 11 . . . . . 6 comp comp
19 fvex 5742 . . . . . . 7
2019a1i 11 . . . . . 6
21 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
243ad4antr 713 . . . . . . . . . . 11 f f
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14
27 relfunc 14059 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . . . . . . 15
3127, 29, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
3226, 31eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . 13
3325, 21, 32funcf1 14063 . . . . . . . . . . . 12
3433ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
35 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
3628simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . . . . . . 15
3827, 36, 37sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
3935, 38eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . 13
4025, 21, 39funcf1 14063 . . . . . . . . . . . 12
4140ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
4221, 22, 23, 24, 34, 41homfeqval 13923 . . . . . . . . . 10
4342ixpeq2dva 7077 . . . . . . . . 9
441homfeqbas 13922 . . . . . . . . . . 11
4544ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10
4645ixpeq1d 7074 . . . . . . . . 9
4743, 46eqtrd 2468 . . . . . . . 8
48 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
49 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
5150cbvixpv 7080 . . . . . . . . . 10
5251eleq2i 2500 . . . . . . . . 9
5345adantr 452 . . . . . . . . . 10
5453adantr 452 . . . . . . . . . . 11
55 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
56 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
571ad6antr 717 . . . . . . . . . . . . 13 f f
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
59 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
6025, 55, 56, 57, 58, 59homfeqval 13923 . . . . . . . . . . . 12
61 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
62 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
633ad7antr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 f f
644ad7antr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 compf compf
6534adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
6733ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
7040ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
7332ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7425, 55, 22, 73, 58, 59funcf2 14065 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . 14
76 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7977, 78oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079fvixp 7067 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8176, 80sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
8321, 22, 61, 62, 63, 64, 66, 69, 72, 75, 82comfeqval 13934 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp
8441adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
86 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8886, 87oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988fvixp 7067 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
9239ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9325, 55, 22, 92, 58, 59funcf2 14065 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . 14
9521, 22, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 72, 91, 94comfeqval 13934 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp
9683, 95eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp
9760, 96raleqbidva 2918 . . . . . . . . . . 11 comp comp comp comp
9854, 97raleqbidva 2918 . . . . . . . . . 10 comp comp comp comp
9953, 98raleqbidva 2918 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp
10052, 99sylan2b 462 . . . . . . . 8 comp comp comp comp
10147, 100rabeqbidva 2952 . . . . . . 7 comp comp comp comp
102 csbeq1a 3259 . . . . . . . 8 comp comp comp comp
103102adantl 453 . . . . . . 7 comp comp comp comp
104101, 103eqtrd 2468 . . . . . 6 comp comp comp comp
10516, 18, 20, 104csbiedf 3288 . . . . 5 comp comp comp comp
106 csbeq1a 3259 . . . . . 6 comp comp comp comp
107106adantl 453 . . . . 5 comp comp comp comp
108105, 107eqtrd 2468 . . . 4 comp comp comp comp
10911, 13, 15, 108csbiedf 3288 . . 3 comp comp comp comp
1109, 10, 109mpt2eq123dva 6135 . 2 comp comp comp comp
111 eqid 2436 . . 3 Nat Nat
112111, 25, 55, 22, 61natfval 14143 . 2 Nat comp comp
113 eqid 2436 . . 3 Nat Nat
114 eqid 2436 . . 3
115113, 114, 56, 23, 62natfval 14143 . 2 Nat comp comp
116110, 112, 1153eqtr4g 2493 1 Nat Nat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2559  wral 2705  crab 2709  cvv 2956  csb 3251  cop 3817   class class class wbr 4212   wrel 4883  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cixp 7063  cbs 13469   chom 13540  compcco 13541  ccat 13889   f chomf 13891  compfccomf 13892   cfunc 14051   Nat cnat 14138 This theorem is referenced by:  fucpropd  14174 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-map 7020  df-ixp 7064  df-cat 13893  df-cid 13894  df-homf 13895  df-comf 13896  df-func 14055  df-nat 14140
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