MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraeledg Unicode version

Theorem nbgraeledg 21403
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 21401 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  =  {
n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } )
21eleq2d 2479 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } ) )
3 usgraedgrnv 21358 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V ) )
43simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  N  e.  V )
54ex 424 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  ->  N  e.  V
) )
65pm4.71rd 617 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  <-> 
( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
7 prcom 3850 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
87a1i 11 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  { N ,  K }  =  { K ,  N }
)
98eleq1d 2478 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  K }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
10 preq2 3852 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1110eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3060 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
146, 9, 133bitr4rd 278 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
152, 14bitrd 245 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   {cpr 3783   <.cop 3785   class class class wbr 4180   ran crn 4846  (class class class)co 6048   USGrph cusg 21326   Neighbors cnbgra 21391
This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  21404  nbgracnvfv  21411  nbgraf1olem3  21414  nbgraf1olem5  21416  nb3graprlem1  21421  frgranbnb  28132  frgrancvvdeqlem2  28142  frgrancvvdeqlem3  28143  frgrancvvdeqlem4  28144  frgrancvvdeqlem7  28147  frgrancvvdeqlemC  28150  frgrawopreglem4  28158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-hash 11582  df-usgra 21328  df-nbgra 21394
  Copyright terms: Public domain W3C validator