MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraeledg Structured version   Unicode version

Theorem nbgraeledg 21473
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 21471 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  =  {
n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } )
21eleq2d 2509 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } ) )
3 usgraedgrnv 21428 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V ) )
43simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  N  e.  V )
54ex 425 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  ->  N  e.  V
) )
65pm4.71rd 618 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  <-> 
( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
7 prcom 3906 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
87a1i 11 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  { N ,  K }  =  { K ,  N }
)
98eleq1d 2508 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  K }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
10 preq2 3908 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1110eleq1d 2508 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3098 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
146, 9, 133bitr4rd 279 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
152, 14bitrd 246 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715   {cpr 3839   <.cop 3841   class class class wbr 4237   ran crn 4908  (class class class)co 6110   USGrph cusg 21396   Neighbors cnbgra 21461
This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  21474  nbgracnvfv  21481  nbgraf1olem3  21484  nbgraf1olem5  21486  nb3graprlem1  21491  frgranbnb  28508  frgrancvvdeqlem2  28518  frgrancvvdeqlem3  28519  frgrancvvdeqlem4  28520  frgrancvvdeqlem7  28523  frgrancvvdeqlemC  28526  frgrawopreglem4  28534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-hash 11650  df-usgra 21398  df-nbgra 21464
  Copyright terms: Public domain W3C validator