Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbgraeledg Unicode version

Theorem nbgraeledg 28156
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 28154 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  =  {
n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } )
21eleq2d 2352 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } ) )
3 usgraedgrnv 28134 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V ) )
43simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  N  e.  V )
54ex 423 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  ->  N  e.  V
) )
65pm4.71rd 616 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  <-> 
( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
7 prcom 3707 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
87a1i 10 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  { N ,  K }  =  { K ,  N }
)
98eleq1d 2351 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  K }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
10 preq2 3709 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1110eleq1d 2351 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1211elrab 2925 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1312a1i 10 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
146, 9, 133bitr4rd 277 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
152, 14bitrd 244 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   {crab 2549   {cpr 3643   <.cop 3645   class class class wbr 4025   ran crn 4692  (class class class)co 5860   USGrph cusg 28106   Neighbors cnbgra 28145
This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  28157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-hash 11340  df-usgra 28108  df-nbgra 28148
  Copyright terms: Public domain W3C validator