Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraeledg Structured version   Unicode version

Theorem nbgraeledg 21473
 Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg USGrph Neighbors

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 21471 . . 3 USGrph Neighbors
21eleq2d 2509 . 2 USGrph Neighbors
3 usgraedgrnv 21428 . . . . . 6 USGrph
43simprd 451 . . . . 5 USGrph
54ex 425 . . . 4 USGrph
65pm4.71rd 618 . . 3 USGrph
7 prcom 3906 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4 USGrph
98eleq1d 2508 . . 3 USGrph
10 preq2 3908 . . . . . 6
1110eleq1d 2508 . . . . 5
1211elrab 3098 . . . 4
1312a1i 11 . . 3 USGrph
146, 9, 133bitr4rd 279 . 2 USGrph
152, 14bitrd 246 1 USGrph Neighbors
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  crab 2715  cpr 3839  cop 3841   class class class wbr 4237   crn 4908  (class class class)co 6110   USGrph cusg 21396   Neighbors cnbgra 21461 This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  21474  nbgracnvfv  21481  nbgraf1olem3  21484  nbgraf1olem5  21486  nb3graprlem1  21491  frgranbnb  28508  frgrancvvdeqlem2  28518  frgrancvvdeqlem3  28519  frgrancvvdeqlem4  28520  frgrancvvdeqlem7  28523  frgrancvvdeqlemC  28526  frgrawopreglem4  28534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-hash 11650  df-usgra 21398  df-nbgra 21464
 Copyright terms: Public domain W3C validator