Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraf1olem3 Structured version   Unicode version

Theorem nbgraf1olem3 21458
 Description: Lemma 3 for nbgraf1o 21462. The restricted iota of an edge is the function value of the converse applied to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n Neighbors
nbgraf1o.i
nbgraf1o.f
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem3 USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem nbgraf1olem3
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . 5 Neighbors
21eleq2i 2502 . . . 4 Neighbors
3 nbgracnvfv 21455 . . . 4 USGrph Neighbors
42, 3sylan2b 463 . . 3 USGrph
6 usgraf1o 21387 . . . . . . 7 USGrph
763ad2ant1 979 . . . . . 6 USGrph
8 nbgraeledg 21447 . . . . . . . . . . . 12 USGrph Neighbors
9 prcom 3884 . . . . . . . . . . . . 13
109eleq1i 2501 . . . . . . . . . . . 12
118, 10syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11 USGrph Neighbors
1211biimpcd 217 . . . . . . . . . 10 Neighbors USGrph
1312a1d 24 . . . . . . . . 9 Neighbors USGrph
1413, 1eleq2s 2530 . . . . . . . 8 USGrph
1514com13 77 . . . . . . 7 USGrph
16153imp 1148 . . . . . 6 USGrph
17 f1ocnvdm 6021 . . . . . 6
187, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5 USGrph
19 prid1g 3912 . . . . . . . 8
20 eleq2 2499 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
22213ad2ant2 980 . . . . . 6 USGrph
235, 22mpd 15 . . . . 5 USGrph
24 fveq2 5731 . . . . . . 7
2524eleq2d 2505 . . . . . 6
2625elrab 3094 . . . . 5
2718, 23, 26sylanbrc 647 . . . 4 USGrph
28 nbgraf1o.i . . . 4
2927, 28syl6eleqr 2529 . . 3 USGrph
30 nbgraf1o.f . . . . 5
311, 28, 30nbgraf1olem1 21456 . . . 4 USGrph
32313impa 1149 . . 3 USGrph
3324eqeq1d 2446 . . . 4
3433riota2 6575 . . 3
3529, 32, 34syl2anc 644 . 2 USGrph
365, 35mpbid 203 1 USGrph
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wreu 2709  crab 2711  cpr 3817  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  crio 6545   USGrph cusg 21370   Neighbors cnbgra 21435 This theorem is referenced by:  nbgraf1olem4  21459  nbgraf1olem5  21460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-usgra 21372  df-nbgra 21438
 Copyright terms: Public domain W3C validator